MỘT KĨ SƯ CỦA NHÀ MÁY ĐƯỢC YÊU CẦU PHẢI THIẾT KẾ MỘT THÙNG CH...
Câu 48. Một kĩ sư của nhà máy được yêu cầu phải thiết kế một
thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) cĩ thể tích nhất định. Biết
rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng đắt gấp
N
lần
(
N
>
1)
(chi phí cho mỗi đơn vị diện tích) so với vật liệu để
làm mặt bên của thùng. Tỉ lệ chiều cao
h
và bán kính đáy
r
theo
N
được tìm bởi kĩ sư sao cho giá thành sản xuất thùng là nhỏ
nhất bằng bao nhiêu?
A.
h
2 .
N
r
=
B.
h
2 .
N
r
=
C.
h
3 .
N
r
=
D.
h
3 .
N
Lời giải. Gọi V
là thể tích của thùng,
C
là chi phí trên mỗi một đơn vị diện tích để làm mặt
bên của thùng (V
và C
là các hằng số).
Chi phí để làm thùng là
(2
π
rh C
).
+
N
. 2
(
π
r
2
)
.
C
trong đĩ
h
và
r
là các biến.
Ta cĩ mối liên hệ giữa hai biến
h
và
r
được cung cấp bởi
V
=
π
r h
2
.
Sử dụng mối quan hệ này để loại bỏ
h
(cũng cĩ thể loại bỏ
r
nhưng sẽ dễ dàng hơn khi loại
bỏ
h
vì
h
chỉ xuất hiện một lần trong cơng thức tính chi phí).
=
+
=
+
Chi phí sản xuất là
( )2
V
2
2
2
2
cV
2
2
.
f r
rc
Nc
r
Nc r
π
π
π
r
π
cV
V
Đạo hàm
'
( )4
2
2
0
3
.
=
−
= ⇔ =
f
r
Nc r
r
N
2
r
V
Từ đĩ với
3
=
thì
f r
( )đạt giá trị nhỏ nhất.
N
π
r h
h
Lại cĩ
V
=
π
r h
2
→
f r
( )đạt giá trị nhỏ nhất khi
3
2
2 .
=
←→ =
Chọn B.
r
N
N
r