CHO ĐƯỜNG TRÒN (O) , ĐƯỜNG KÍNH AB = 2R. M LÀ MỘT ĐIỂM LƯU ĐỘNG...

Bài 4. Cho đường tròn (O) , đường kính AB = 2R. M là một điểm lưu động trên cung AB (M khác A

và B). Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt là C và D.

a) Chứng minh : Tích AC.BD không đổi khi M lưu động trên cung AB.

b) Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.

a) AC.BD không đổi

Theo định lí hai tiếp tuyến ta có CA = CM và DM = DB (1)

Và OC là phân giác của góc ^{ AOM} , OD là phân giác của góc ^{MOB }

Mà ^{ AOM} và ^{MOB } kề bù nên suy ra CO  OD

Mặt khác OM  CD và OM = R (CD tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm M)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCD có : MC.MD = OM

= R

(không đổi)

Kết hợp với (1) suy ra : AC.BD = MC.MD = R

(không đổi) khi M lưu

động trên cung AB

b) Vì AC VÀ BD là hai tiếp tuyến của (O) tại A và B nên AC // BD (AC

và BD cùng vuông góc với AB), suy ra tứ giác ABDC là hình thang

vuông

1 ( )

S  

2 AB AC BD

Diện tích

= R(CM + MD) = R.CD (cmt) với R không đổi

Nên ^S

nhỏ nhất khi và chì khi CD nhỏ nhất

Và CD nhỏ nhất khi và chỉ khi CD hai tiếp tuyến tại A và B

 M là điểm chính giữa của cung AB , ^{MC MD   }