CHO HÌNH LĂNG TRỤ ABC A B C . 1 1 1 CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC...
Câu 3. Cho hình lăng trụ ABC A B C .
1 1 1
có đáy là tam giác đều cạnh bằng a và
BA = BB = BC = a .
1
1
1
3
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ABB A
1 1
) .
b) Gọi G
1
, G
2
, G
2
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABB
1
, ACC
1
, CBB
1
. Tính thể tích khối đa
diện lồi có các đỉnh là các điểm G
1
, G
2
, G
2
, A
1
, B
1
và C
1
.
Lời giải
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ABB A
1 1
) .
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC
Gọi I là trung điểm A B
1 1
.
⊥
A B C I
( )
1 1
1
⇒ ⊥
A B BC I
⊥
A B BO
.
1 1
Kẻ C H
1
⊥ BI .
Mà C H
1
⊥ A B
1 1
.
⇒ ⊥ .
C H A B BA
1
1 1
Vì CC
1
// ( A B BA
1 1
)
d C A B BA(
,(
1 1
) )
=d C A B BA(
1
,(
1 1
) )
=C H1
.
∆ là tam giác đều. Suy ra :
A B C
1 1 1
3C I =a.
1
22 3C O= C I=a.
1
1
3 3IO= C O=a.
1 32 62
2
2
2
3 11
a a
BI = BA − A I = a − = .
4 2
2
2
a a a
2
2
11 3 2 2
BO = BI − IO = − = .
4 36 3
C I BO a
1 1⇒ = = .
C H BI
. .S∆
BIC
= C I BO= BI C H1
1
. 2 2
2 211
1
1
1
2 2
d C A B BA = a .
(
1 1
)
, 11
b) Gọi G
1
, G
2
, G
2
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABB
1
, ACC
1
, CBB
1
. Tính thể tích khối đa
Qua G
1
kẻ đường thẳng song song với AB cắt A A
1
, B B
1
lần lượt tại M và N .
Trong ( B C CB
1 1
) gọi K NG =
3
∩ CC
1
⇒ M G K ,
2
, thẳng hàng.
1 . , 2
G G d G G G
S
2 1 . . , 9
∆
G G G
= =
1 2 3
1
3
2
1
3
S MK d N MK
MNK
2
a a2 2 3 3⇒ = = =S∆
S∆
G G G
MNK
9 9 4 181 2 3
2
32
3 72
3a a a⇒ + + = − = − =S∆
S∆
S∆
S∆
S∆
MG G
KG G
NG G
MNK
G G G
4 18 361 2
2 3
1 3
1 2 3
1 2.⇒ + + = + + V V V BO S∆
S∆
S∆
A MG G
B NG G
C KG G
3 3MG G
KG G
NG G
1
.
1 2
1
.
1 3
1
.
2 3
1 2
2 3
1 3
2
3
2 2 2 7 3 7 2
= = .
. .
9 3 36 81
2 2 2 2 3 2
0. . .
V = B S
∆
= = .
A B C MNK
MNK
.
3 3 3 4 3
⇒ = − + + =V V V V V A B C G G G
A B C MNK
A MG G
B NG G
C KG G
1 1 1
.
1 2 3
1 1 1
.
1
.
1 2
1
.
1 3
1
.
2 3
3
2 73
2 203
2= − =