(3,0 ĐIỂM). CHO ĐƯỜNG TRÒN  O VÀ ĐIỂM A NẰM NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN...

Câu 9 (3,0 điểm). Cho đường tròn

 

^O

và điểm

A

nằm ngoài đường tròn. Qua điểm

A

kẻ hai tiếp

tuyến

AB

và

AC

đến

 

^O

(

^{B C}

^,

là các tiếp điểm). Kẻ tia

Ax

(nằm giữa hai tia

^{AB, AO}

) cắt đường

tròn tại

E

và

F

(

E

nằm giữa

A

và

F

) .

a) Chứng minh rằng tứ giác

ABOC

nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng

BA

²



AE

.AF

và

OEF OHF







, với

H

là giao điểm của

AO

và

BC

.

c) Đường thẳng qua

E

song song với

BF

cắt đường thẳng

BC

tại .

K

Đường thẳng

AK

cắt

đường thẳng

BF

tại .

M

Chứng minh rằng

_MC

_

₂

_HF

_.

Lời giải

a) Chứng minh rằng các tứ giác

ABOC

nội tiếp đường tròn.

Vì AB, AC là các tiếp tuyến của

 

^O

^nên

Xét tứ giác

ABOC

có

nên tứ giác

ABOC

nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng

BA

²



AE

.AF

và

OEF OHF







, với

H

là giao điểm của

AO

và

BC

.

* Xét



ABE

và



AFB

có:



BAE

- góc chung

Do đó,

^

^ABE

^

^

^AFB

AB

AE

Suy ra,

²

^{.AF 1}

 

AF



AB





*

^{OB OC GT}

_AB

^

_{AC t c}

⁽

_{( / )}

⁾

^



^





^AO

là trung trực của

^BC

AO

BH





ABO



vuông tại

B

, đường cao

BH

nên

^AB

²

^

^AH

^{.AO 2}

 

AE

AH

Từ (1) và (2) ta có

^.AF

^.AO





AO



Suy ra

^

^AEH

^

^

^A

^{OF c.g.c}

 



AFO



AHE





EHOF



nội tiếp



OEF



OHF

c) Đường thẳng qua

E

song song với

BF

cắt đường thẳng

BC

tại

K

.

Đường thẳng

AK

cắt

đường thẳng

BF

tại

M

.

Chứng minh rằng

_MC

_

₂

_HF

_.

Gọi giao điểm của

BC

và

AF

là

P

AE

EP

EK//BM

,

3

EK

EK

 







FM

AF BF

FP





 

OHF OEF



cmt





OFE OEF



⁽



OEF

cân)



^EFO



 

AHE



cmt

Suy ra

^

AHE



FHO

^

Mà

^

AHE EHB



^



FHO

^



FHB

^



90

⁰

EHB FHB







HB

là tia phân giác

_EHF

^

^EP

^EH

 

⁴

FP

FH

EHF



có

HB

là phân giác trong

^

_EHF

,

^{HP HA}

^

nên

HA

là đường phân giác góc

ngoài của

^

_EHF

EA

EP

 

⁵

FA

FP

Từ (3), (4) và (5) suy ra:

EK

EK

FM



BF



BF



FM

HF



là đường trung bình



BCM



CM



2

HF