CHO HÀM SỐ F X   NHẬN GIÁ TRỊ DƯƠNG VÀ CĨ ĐẠO...

Câu 102. Cho hàm số f x   nhận giá trị dương và cĩ đạo hàm f '   x liên tục trên   1;2 , thỏa mãn  

 

1

  ^{1 1,}

f  ^f   ^{2  16.} Tính giá trị của ^f   ^{2 .}

A. ^f   ^{2  1. B. f}   ^{2  2. C. f}   ^{2  2. D. f}   ^{2  4.}

2

2

   

f x f x

' 1 '

f x'

     Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng  

Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là  

, muốn vậy ta

. .

xf x x f x

f x

phải đánh giá theo

AMGM

như sau:

 

'

2

'

    với m  0 và x    1;2 .

f x 2 f x

mx m

xf x f x

Do đĩ ta cần tìm tham số m  0 sao cho

    

2

2

2

   

' '

   

 

 

d 2 d

mx x m x

 

1

1

hay

2 2 2m m m

 

²

   

           24 4 24 4 2 1 24 12 16.m f x m f f  m m3 3 3

m m m

   

24 12 16.

Để dấu ''  '' xảy ra thì ta cần cĩ 2

3

    

16 2

x x

Với

m16

thì đẳng thức xảy ra nên  

2

' d 2 d .

f x

           

x x x f x x C f x x C

   

²

  

²



²

f x

 

f C f x x f

        

 

Theo giả thiết  

  ¹ ₂ ¹ ₁₆ ⁰  

⁴

  ^{2 4.}

 Chọn D.

f

        

Cách 2. Ta cĩ  

d 2. d 2 2 2 1 6.

x x f x f f

       

f x f x

1

1

1

Theo Holder

       

     

2

1

2

2

2

2

' ' '

f x f x x

   

                          

2

6 d . d d . d .24 36.

x x x x x x

f x xf x xf x

1

1

1

1

1

' d 6

' '

  ^{ta được}

^k4.

^{Suy ra}

  

thay vào  

x

f x f x ,k x kx

Vậy đẳng thức xảy ra nên ta cĩ  

xf x f x

' 4 .

 (làm tiếp như trên)

Vấn đề 13. Tìm GTLN-GTNN của tích phân