CHO HÌNH CHÓP S.ABCD CÓ ĐÁY ABCD LÀ HÌNH VUÔNG CẠNH BẰNG A, SA A = 3 V...

Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA a = 3 và SA

vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi M là trung điểm của SD. Tính theo a thể tích khối tứ diện

SAMC và côsin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC.

Giải:

* Tính thể tích của khối tứ diên SAMC:

+ Gọi V, V

1

, V

2

lần lượt là thể tích của khối tứ diện SAMC, khối chóp S.ACD, M.ACD , ta

có: V = V

1

- V

2

+ SA ⊥ (ABCD) nên SA là chiều cao của khối

S

chóp S.ACD.

SA S = a AD DC = a

Vậy V

1

= ¹ . ¹ . 3. ¹ .

³

³

3

^ACD

3 2 6

M

Gọi H là trung điểm của AD thì MH//SA nên

MH ⊥ (ABCD) và MH = ^{1 3}

2 SA a = 2

MH S = a AD DC = a

V

2

= ¹ . ¹ . ^{3 1} . .

³

³

3

^ACD

3 2 2 12

A H D

a − a = a

Vậy V =

³

³

³

³

³

³

6 12 12

O

* Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SB,

AC:

B C

Ta có: MO là đường trung bình của tam giác SBD nên:

= + = + = và MO//SB nên góc giữa SB và AC là góc giữa

MO = ¹

2 SB ¹

^{2 2}

^{1 3}

^{2 2}

2 SA AD 2 a a a

OM và AC

AC = a ; AM

^{2 2}

³

^{2 2}

a a

OA = ^{1 2}

= + = + =

AH MH a

2 2

4 4

2

a a a

+ − + −

2 22 2 2

2 1

OA OM AM

= = =

AOM OA OM a

cos 2. . 2 2 2

Trong tam giác OAM có: ^·

2. .

a

2

Vậy ^cos ( ^, ) ^cos ( ^, ) ¹

SB AC = OM OA = 2 2