XÁC ĐỊNH TẤT CẢ CÁC SỐ NGUYÊN DƯƠNG N SAO CHO7N−122N +2N−143N +24N6...

8. - Đề thi Vòng 2 MYTS 2016 8. - Đề thi Vòng 2 MYTS 2016
Khoa học Đề thi Vòng 2 MYTS 2016
8. Xác định tất cả các số nguyên dương n sao cho7n−122

n

+2n−143

n

+24n6

n

= 1.Chứng minh. Rõ ràng, nghiệm của phương trình phải là một số nguyêndương. Viết lại phương trình dưới dạng(7n−12)3

n

+ (2n−14)2

n

+ 24n= 6

n

,

8 8 8 8 8 8

sau khi biến đổi ta được(2

n

−n

2

)(3

n

−2n+ 14) = (3

n

−2n)(3−n)(n−4).Giả sử n ∈N. Thì 3

n

= (1 + 2)

n

≥1 + 2n sao cho 3

n

−2n và 3

n

−2n+ 14đều dương.Vì2

n

> n

2

đúng với mọi n, trừ với n= 2,3, và4. Suy ra rằng nếun lớn hơn4 hoặcn= 1 thì hai vế trái dấu (vế trái dương, vế phải âm). Vậy nên ta chỉcần xét các trường hợpn= 2,3,4. Thử trực tiếp cho tan = 4là nghiệm duynhất. Đáp số: n= 4.Người đề xuất: Michel Bataille.