VỚI DÃY SỐ TỰ NHIÊN TỪ 1 ĐẾN 100 TA CÓ TỔNG 1 2 3 ... 100+ + +...
Bài 7. Với dãy số tự nhiên từ 1 đến 100 ta có tổng
1 2 3 ... 100
+ + + +
=
(
100 1 .100
+
)
=
5050
2
Tiến hành xóa hai số a, b bất kì trong dãy số trên và viết lại một số là
a
3
+
b
3
. Khi đó tổng dãy số
trên bảng tăng một đại lượng
(
a
3
+
b
3
)
− +
(
a b
)
.
Ta thấy
1 2 3 ... 100 5050
+ + + +
=
chia 3 có số dư là 1.
Lại thấy
(
a
3
+
b
3
)
− +
(
a b
) (
=
a 1 a a 1
−
) (
+ +
) (
b 1 b b 1
−
) (
+
)
.
Do đó đại lượng tăng lên luôn chia hết cho 3. Như vậy sau mỗi lần tiến hành trò chơi thì tổng dãy
số trên bảng luôn chia cho 3 có số dư là 1. Mà ta lại có 9876543212016 chia hết cho 3. Do đó sau một
số lần tiến hành trò chơi thì trên bảng không thể còn lại số 9876543212016.