ROT (U F) = U ROT F + [GRAD U, F] CHỨNG MINH SUY RA TỪ ĐỊNH NGHĨA (...

2. rot (u F) = u rot F + [grad u, F] Chứng minh Suy ra từ định nghĩa (6.5.2) và các tính chất của đạo hàm riêng. • Giả sử S là mặt cong trơn từng mảnh, nằm gọn trong miền D, định h−ớng theo pháp vectơ n và có biên là đ−ờng cong kín Γ trơn từng khúc, định h−ớng theo vectơ tiếp xúc T phù hợp với h−ớng pháp vectơ n. Khi đó công thức Stokes viết lại ở dạng vectơ nh− sau.

∫

Γ

><F,T ds =

∫∫

^{< >}rotF (6.5.3) dS,n

S

Chọn S là nửa mặt cầu tâm A, bán kính ε. Từ công thức (6.5.3) và định lý về trị trung bình của tích phân mặt loại hai suy ra. lim 1< rot F, n >(A) =

∫

ε

< , >dsS

0

F T (6.5.4)

→

Γ

Theo công thức trên, c−ờng độ của tr−ờng vectơ rot F theo h−ớng pháp vectơ n tại điểm A là công tự quay của điểm A theo h−ớng trục quay n. Ch−ơng 6. Lý Thuyết Tr−ờng • Cho tr−ờng vectơ (D, F ) và điểm A ∈ D. Nếu < rot F, n >(A) > 0 thì điểm A gọi là điểm xoáy thuận. Nếu < rot F, n >(A) < 0 thì điểm A gọi là điểm xoáy nghịch. Ví dụ Cho tr−ờng vectơ F = {xy, yz, zx} và n = {x, y, z} Ta có rot F = {z, x, y} và < rot F, n > = zx + xy + yz < rot F, n > (1, 0, 1) = 1 > 0 điểm (1, 0, 1) là điểm xoáy thuận < rot F, n > (1, 0, -1) = -1 < 0 điểm (1, 0, -1) là điểm xoáy nghịch Định lý Cho tr−ờng vectơ <D, F > và điểm A ∈ D.