VECTƠ F(A) LÀ VECTƠ TIẾP XÚC CỦA Đ−ỜNG CONG Γ(A) TẠI ĐIỂM A. VÍ DỤ...

2. Vectơ F(A) là vectơ tiếp xúc của đ−ờng cong Γ(A) tại điểm A. Ví dụ Nếu tr−ờng F là tr−ờng chất lỏng thì họ đ−ờng dòng F chính là dòng chất lỏng chảy d−ới tác động của tr−ờng F. Γ • Giả sử họ đ−ờng dòng có ph−ơng trình tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t) Theo định nghĩa trên tr−ờng vectơ tiếp xúc T = {x’(t), y’(t), z’(t)} đồng ph−ơng với tr−ờng vectơ F = {X, Y, Z}. Tức là x’(t) = λX, y’(t) = λY, z’(t) = λZ với λ ∈ 3 Từ đó suy ra hệ ph−ơng trình vi phân dx = dy = dz = λdt (6.3.2) XZYgọi là hệ ph−ơng trình vi phân của họ đ−ờng dòng. Ví dụ Tìm đ−ờng dòng của tr−ờng vectơ F = {y, - x, 1} đi qua điểm A(1, 1, 0) dy = dz = λdt dx = -Lập hệ ph−ơng trình vi phân xyGiải ra ph−ơng trình tham số của họ đ−ờng dòng x = Rcost, y = Rsint, z = - t + C với (R, C) ∈ 3

²

Đ−ờng dòng đi qua điểm A thoả m~n Rcost

₀

= 1, Rsint

₀

= 1, -t

₀

+ C = 0 Suy ra R = 2, t

₀

= π/4, C = π/4 Đó chính là đ−ờng xoắn ốc đều trong không gian x = 2cost, y = 2sint, z = - t + π/4

Đ4. Thông l−ợng

• Cho tr−ờng vectơ (D, F ) và mặt cong S trơn từng mảnh, nằm gọn trong miền D, định h−ớng theo pháp vectơ là n. Tích phân mặt loại hai Φ =

∫∫

^{< >}YdzdxXdydz (6.4.1) ,nZdxdyF =

∫∫

^{+ +}dS

S

gọi là thông l−ợng của tr−ờng vectơ F qua mặt cong S. Ch−ơng 6. Lý Thuyết Tr−ờng Nếu F là tr−ờng chất lỏng thì thông l−ợng chính là l−ợng n chất lỏng đi qua mặt cong S theo h−ớng pháp vectơ n trong một đơn vị thời gian. S • Cho tr−ờng vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z}. Tr−ờng vô h−ớng + ∂∂ (6.4.2) div F = ∂zgọi là divergence (nguồn) của tr−ờng vectơ F. Ví dụ Cho tr−ờng vectơ F = {xy, yz, zx} và điểm A(1, 1, -1) Ta có div F = y + z + x và div F(A) = 1 + 1 - 1 = 2 Định lý Cho F, G là các tr−ờng vectơ và u là tr−ờng vô h−ớng. Divergence có các tính chất sau đây.