.. 1 1 , .N N  N  N N      CH UY ÊN Đ Ề SỐ H Ọ C ĐẶT SN =...

1 ... 1 1 , .n nnn n      

CH UY ÊN Đ Ề SỐ H Ọ C

Đặt S

n

= n

2

  + n

2

+ + +1 ... 

(

n+1

)

2

− =1

(

2n+1

)

n=2n

2

+n.4 3 1x x xDo đó

2

(

2

)

1 2 ... 1 ... .y=    + + + x − = +S S + +S

= − −

1

2

1

x

6Nên

6

y

=

x

(

4

x

2

3

x

1 ,

)

suy ra 6y x ,

x y

,

là các số nguyên tố suy ra x

{

2;3;y

}

.Nếu x=2 thì

y

=

3

(thỏa mãn); nếu x=3 thì

y

=

13

(thỏa mãn); nếu

x

=

y

thì

y

= −

1

hoặc

7

y

=

4

(loại). Vậy bài toán có hai nghiệm x=2 và x=3.Bài toán 5. Cho a= +2 3.a) Tính   a

2

b) Tính   a

3

c) * Chứng minh rằng   a

n

là số tự nhiên lẻ với mọi số

n

nguyên dương. (Nâng cao phát triển lớp 9 tập 1 – Vũ Hữu Bình) Hướng dẫn giải a) Cách 1 (tính trực tiếp)

( )

2

2

2 3 7 4 3.a = + = +Ta có 6<4 3<7 nên 13<a

2

<14. Vậy   = a

2

13Cách 2 (tính gián tiếp). Ta có a

2

= +7 4 3. Đặt b= −2 3 thì b

2

= −7 4 3. Suy ra

2

2

14a +b = (1) Ta có 0< <b 1 nên 0<b

2

<1 (2) Từ (1) và (2) suy ra 13<a

2

<14. Vậy   = a

2

13.b) Cách 1 (tính trực tiếp)

( )

3

3

2 3 8 12 3 18 3 3 26 15 3a = + = + + + = +Ta có 25<15 3<26 nên 51<a

3

<52. Vậy   = a

3

51Ta có a

3

=26 15 3+ . Đặt b= −2 3 thì b

3

= −8 12 3 18 3 3+ − =26 15 3− Suy ra

3

3

52Ta có 0< <b 1 nên 0<b

3

<1 (2) Từ (1) và (2) suy ra 51<a

3

<52. Vậy   = a

3

51c) Đặt b= −2 3. Theo khai triển

(

x+ y

)

n

, ta được

(

2 3

)

n

3a

n

= + = +A B với

A B

,

là số tự nhiên

(

2 3

)

n

3.b

n

= − = −A BSuy ra a

n

+b

n

=2A (3) Ta có 0< <b 1 nên 0<b

n

<1 (4)

CH IN H P H Ụ C K Ỳ T H I H ỌC S IN H GI Ỏ I C ẤP H AI

Từ (3) và (4) suy ra 2A− <1 a

n

<2A. Vậy   = a

n

2A−1, tức là   a

n

là số lẻ. Chú ý: Trong cách tính gián tiếp, để chứng tỏ   a

n

là số nguyên

m

, ta chứng minh rằng

n

n

1a +b = +m và 0<b

n

<1, thế thì m<a

n

< +m 1, do đó   = a

m

m.Cách khác:  = −+ = ⇒x x2 3x