.. 1 1 , .N N  N  N N      CH UY ÊN Đ Ề SỐ H Ọ C ĐẶT SN =...

1 ... 1 1 , .n n  n  n n      

CH UY ÊN Đ Ề SỐ H Ọ C

Đặt S

n

= n

²

  + n

²

+ + +¹ ^... 

(

n+¹

)

²

− =¹

(

²n+¹

)

n=²n

²

+n^.4 3 1x x xDo đó

2

(

²

)

1 2 ... 1 ... .y=    + + + x − = +S S + +S

₋

= − −

1

2

1

x

6Nên

⁶

^y

⁼

^x

(

⁴

^x

²

⁻

³

^x

⁻

^{1 ,}

)

^{suy ra 6y x , mà}

^{x y}

^,

là các số nguyên tố suy ra ^x∈

{

^2;3;y

}

^.Nếu x=2 thì

y

=

3

(thỏa mãn); nếu x=3 thì

y

=

13

(thỏa mãn); nếu

x

=

y

thì

y

= −

1

hoặc

⁷

y

=

4

(loại). Vậy bài toán có hai nghiệm x=2 và x=3.Bài toán 5. Cho a= +2 3.a) Tính   a

²

b) Tính   a

³

c) * Chứng minh rằng   a

ⁿ

là số tự nhiên lẻ với mọi số

n

nguyên dương. (Nâng cao phát triển lớp 9 tập 1 – Vũ Hữu Bình) Hướng dẫn giải a) Cách 1 (tính trực tiếp)

( )

²

2

2 3 7 4 3.a = + = +Ta có 6<4 3<7 nên 13<a

²

<14. Vậy   = a

²

13Cách 2 (tính gián tiếp). Ta có a

²

= +7 4 3. Đặt b= −2 3 thì b

²

= −7 4 3. Suy ra

2

2

14a +b = (1) Ta có 0< <b 1 nên 0<b

²

<1 (2) Từ (1) và (2) suy ra 13<a

²

<14. Vậy   = a

²

13.b) Cách 1 (tính trực tiếp)

( )

³

3

2 3 8 12 3 18 3 3 26 15 3a = + = + + + = +Ta có 25<15 3<26 nên 51<a

³

<52. Vậy   = a

³

51Ta có a

³

=26 15 3+ . Đặt b= −2 3 thì b

³

= −8 12 3 18 3 3+ − =26 15 3− Suy ra

3

3

52Ta có 0< <b 1 nên 0<b

³

<1 (2) Từ (1) và (2) suy ra 51<a

³

<52. Vậy   = a

³

51c) Đặt b= −2 3. Theo khai triển

(

^{x+ y}

)

ⁿ

^{, ta được}

(

^{2 3}

)

ⁿ

³a

n

= + = +A B với

A B

,

là số tự nhiên

(

^{2 3}

)

ⁿ

^3.b

n

= − = −A BSuy ra a

ⁿ

+b

ⁿ

=2A (3) Ta có 0< <b 1 nên 0<b

ⁿ

<1 (4)

CH IN H P H Ụ C K Ỳ T H I H ỌC S IN H GI Ỏ I C ẤP H AI

Từ (3) và (4) suy ra 2A− <1 a

ⁿ

<2A. Vậy   = a

ⁿ

2A−1, tức là   a

ⁿ

là số lẻ. Chú ý: Trong cách tính gián tiếp, để chứng tỏ   a

ⁿ

là số nguyên

m

, ta chứng minh rằng

n

n

1a +b = +m và 0<b

ⁿ

<1, thế thì m<a

ⁿ

< +m 1, do đó   = a

^m

m.Cách khác:  = −+ = ⇒x x2 3x