 = ĐẶT 1X X X X = + , KHI ĐÓ 1 2 1 2 LÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH...

4 , = Đặt

¹

x x x x = + , khi đó

¹

²

1

2

 là nghiệm của phương trình x

²

−4x+ =1 0.1x2 3

1 2

2

Đặt

1

2

n

n

S

n

= x +x Ta có:

+

+

− + = ⇒ − + =

2

2

1

n

n

n

4 1 0 4 0 1x x x x x

1

1

1

1

1

( )

( )

4 1 0 4 0 2

2

2

2

2

2

Cộng (1) và (2) ta được: S

_n

₊

2

+4S

_n

₊

1

+S

_n

=0

( )

3Ta có S

0

=2,S

1

=4 nên từ (3) suy ra S

n

là số nguyên chẵn với mọi n∈N. Ta có 0< −2 3<1nên ^0<x

¹

ⁿ

^{< ⇒1 x}

²

ⁿ

⁺

(

^x

¹

ⁿ

^{− <1}

)

^x

²

ⁿ

^<x

²

ⁿ

^+x

¹

ⁿ

^⇒S

ⁿ

^{− <1}

(

^{2+ 3}

)

ⁿ

^<S

ⁿ

(

^{2 3}

)

ⁿ

^S

ⁿ

¹ ⇒ + = − là số lẻ với mọi n∈N Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức có chứa phần nguyên * Cơ sở phương pháp: Để chứng minh các bất đẳng thức phần nguyên ta phải sử dụng linh hoạt các tính chất đã được nêu trong phần lý thuyết. * Ví dụ minh họa: Bài toán 1. Chứng minh rằng

[ ] [ ] [

^{x + y ≤ x+y}

]

. (Nâng cao phát triển lớp 9 tập 1 – Vũ Hữu Bình) Hướng dẫn giải Cách 1. Ta có

[ ]

^{x ≤x;}

[ ]

^{y ≤ y} nên

[ ] [ ]

^{x + y ≤ +x y}. Suy ra

[ ] [ ]

^{x + y} là số nguyên không vượt quá x+ y (1) Theo định nghĩa phần nguyên,

[

^{x+ y}

]

là số nguyên lớn nhất không vượt quá ^x+y

( )

²

CH UY ÊN Đ Ề SỐ H Ọ C

Từ (1) và (2) suy ra

[ ] [ ] [

^{x + y ≤ x+ y}

]

. Cách 2. Theo định nghĩa phần nguyên, ta có

[ ]

≤ − <0 1x xy ySuy ra ^0≤

(

^x+y

)

⁻

( [ ] [ ]

^{x + y}

)

^<2.Xét hai trường hợp: - Nếu ^0≤

(

^{x+ y}

)

⁻

( [ ] [ ]

^{x + y}

)

^{<21 thì}

[ ] [ ] [

^{x + y = x+ y}

]

⁽¹⁾ - Nếu ^1≤

(

^{x+ y}

)

⁻

( [ ] [ ]

^{x + y}

)

^{<2 thì 0≤}

(

^x+y

)

⁻

( [ ] [ ]

^{x + y + <1}

)

^{1 nên}

[

^x+y

] [ ] [ ]

^{= x + y +1 (2)} Trong cả hai trường hợp ta đều có

[ ] [ ] [

^{x + y ≤ x+y}

]

^. Bài toán 1. Cho x y, ∈R Chứng minh rằng

[ ] [ ] [ ] [ ] [

^{2x + 2y ≥ x + y + +x y}

]

. (Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS Số học – Nguyễn Vũ Thanh) Ta có:

[ ]

^{2x =}_²

[ ]

^{x +2}

{ }

^{x }_⁼²

[ ]

^{x + }_²

{ }

^{x }_^;= + = +  2y 2 y 2 y 2 y 2 y ;

[ ] [ ] { } [ ] { }

[ ] [ ] [ ] { } { }

+ = + + + x y x y x yBất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: ^_²

{ }

^{x  }_{ }^{+ 2}

{ }

^{y  }_{ }^≥

{ } { }

^{x + y }_

( )

¹Vì ^0≤

{ } { }

^{x + y <2} nên ta có hai trường hợp sau: ● Nếu ^0≤

{ } { }

^{x + y <1} thì (1) luôn đúng đúng vì vế trai lớn hơn bằng 0, vế phải bằng 0. ● Nếu ^1≤

{ } { }

^{x + y <2 thì }_

{ } { }

^{x + y }_^{=1khi đó}

{ }

¹

x

≥

2

hoặc

{ }

¹

y

≥

2

. Giả sử

{ }

¹

²

{ }

¹

²

{ }

²

{ }

¹

x

≥ ⇒

2

x

≥ ⇒





x

 

 

+

y





≥

(đpcm) C. BÀI TẬP ÁP DỤNG