VỚI S > 0, CHUỖINS ,NS HỘI TỤ KHI X 6= K2Π, K ∈ Z. THẬT VẬY, VỚI...
4) Với
s >
0,
chuỗi
n
s
,
n
s
hội tụ khi
x
6=
k2π, k
∈
Z
. Thật vậy, với mỗi
1
k, p
∈
N
có hằng số
M
sao cho:
k+p
X
≤
M
sin
nx
cos
nx
1
−
cos
x
,
1
−
cos
x
k
∞
1
giảm về
0
nên chuỗi
dãy
n
s
x
s
hội tụ, có tổng
S
1
=
n
s
, S
2
=
M
thỏa mãn:
|S
1
| ≤
1
k
s
1
−
cos
x
,
|S
2
| ≤
1
1
−
cos
x
.
Với
a >
0
và
ε >
0
bất kỳ,
do
M
1
−
cos
x
≤
M
1
−
cosa
,
∀x
∈
[a
+ 2iπ,
2(i
+ 1)π
−
a],
∀i
∈
Z
,
chọn
k
0
∈
N
sao cho:
1
k
s
.
M
1
−
cos
a
< ε.
Khi đó, với
k
≥
k
0
,
ta có:
< ε,
ε,
∀x
∈
[a
+ 2iπ,
2(i
+ 1)π
−
a].
Suy ra: chuỗi
x
s
,
x
s
hội tụ đêu trên miền
[a
+ 2iπ,
2(i
+ 1)π
−
a], i
∈
Z
.
sin
n
2
x
P
Ghi chú:
Chuỗi
cos
n
2
x
n
2
hội tụ trên
R
nhưng chuỗi đạo hàm từng số hạng
không hội tụ.
Công thức Maclaurin của các hàm cơ bản: