(1,0 ĐIỂM) GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAU
Câu 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:
2
2
2
2
x
y
x
xy
y
2
3
(1)
x
y
1,0
2
3
3
y
x
x
y
2
2
1
14
2
(2)
ĐK:
y
2
2
x
1
Ta thấy điều kiện có nghiệm của phương trình (1) là
x
y
0
Khi đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
(1
1 )(
)
(
)
hay
(3)
2
4
4
1
1
3
1
1
0,5
1
3
2
4
2
2
x
y
y
x
y
y
x
xy
y
3
4
4
3.
3
x
xy
y
x
y
(4)
hay
3
2
(Chú ý: Ta có thể chứng minh (3), (4) bằng phương pháp biến đổi tương đương)
Dấu bằng ở (3) và (4) xảy ra khi
x
y
(5)
Từ (3), (4), (5) suy ra (1)
x
y
.
Với
x
y
thay vào (2) ta có phương trình
2
x
2
2
x
1
3
x
3
14
x
2
3
(6)
2
3
2
x
2
x
1
x
14
x
2
0
x
ĐK:
1
2
. Kết hợp với điều kiện
x
y
0
và
x
y
ta được điều kiện
x
1
2
1
2
Xét hàm số
f x
( )
3
x
3
14
x
2
trên tập
[1
2;
)
2
f x
x
;
f x
'( )
0
x
2
3
x
3
14
2
x
6
x
3
14
2
x
3
7
'( )
1
14
3
1
2
y
'
0,25
0
Suy ra
f x
( )
0,
x
[1
2;
)
x
x
x
2
2
1
0,
[1
2;
)
2
2
1
0
x
x
(6)
1
2
Ta có
nên
3
3
14
2
0,
[1
2;
)
14
2
0
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
x
y
1
2