CHỨNG MINH RẰNG X24X10 LUÔN DƯƠNG VỚI MỌI XGIẢI TA CÓ

18. Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n

⁴

4

ⁿ

là hợp số (Thi học sinh giỏi toán 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2012-2013) Giải - Với n là số chẵn ^{ n 2k k N}



^

^



^{thì n}

⁴

^4

ⁿ

^16k

⁴

^4

²

^k

^{4 nên n}

⁴

^4

ⁿ

là hợp số - Với n là số lẻ. Đặt ^n2k1



^{k N k}

^*

^{, 1}



thì ta có:

4

4

ⁿ

4

2. .2

2

ⁿ

4

ⁿ

2

.2

ⁿ

1

n  n  n  n

^



ⁿ

²

²

ⁿ



²

ⁿ

²

^.2

²

^k



ⁿ

²

²

ⁿ

^{2 .}

^k

^{n n}



²

²

ⁿ

^{2 .}

^k

ⁿ



       Ta có:

 

²

2

2

ⁿ

2 .

^k

2

2 .

^k

2

2

^k

2

2

ⁿ

2

2

^k

2

2

^k

1

2

2

^k

1

2

2

^k

2

n   n n  n

^

 

^

 n

^



^



^



^{n 2}

^k

^

¹



²

²

²

^k

^

²

¹   mà n

²

2

ⁿ

2 .

^k

n n

²

2

ⁿ

2 .

^k

n suy ra n

⁴

4

ⁿ

là hợp số Vậy n

⁴

4

ⁿ

là hợp số với n là số tự nhiên lớn hơn 1.