(1,0 ĐIỂM)CHO CÁC SỐ THỰC A, B, C THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN 7A + B + 3C...

Question

Câu 4 (1,0 điểm)Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện 7a + b + 3c = 0. Chứng minh rằng phương trìnhax2+ bx + c = 2020. cos  πxcó ít nhất một nghiệm trên R .2- - - Hết - - - -SỞ GDĐT BẮC NINH

Accepted Answer

PHÒNG QUẢN LÝ CHẤT LƯỢNG (Hướng dẫn có 02 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CUỐI NĂM NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn: Toán - Lớp 11 Câu Lời giải Điểm 1.a 1,0 lim x→3 x 3 − 2x + 1 = 3 3 − 2.3 + 1 = 22 1,0 1.b 1,0 lim x→2 x 2 − 10x + 16 x − 2 = lim x→2 (x − 2)(x − 8) x − 2 = lim x→2 (x − 8) = −6 1,0 1.c 1,0 lim 2n 2 + n − 1 5 − n = lim n 2 2 + 1 n − 1 n 2 n 5 n − 1 = lim    n · 2 + 1 n − 1 n 2 5 n − 1    = −∞ 1,0 2.a 1,5 Ta có y 0 = 4x − 3, ∀x ∈ R . 1,0 Vậy y 0 = 0 ⇔ 4x − 3 = 0 ⇔ x = 3 4 . 0,5 2.b 1,0 Tung độ tiếp điểm là y 0 = y(−1) = 6. Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y 0 (−1) = −7. 0,5 Tiếp tuyến của (P ) tại điểm M 0 (−1; 6) có phương trình là y = −7(x + 1) + 6 ⇔ y = −7x − 1. 0,5 3.a 1,5 H I A B C D M N S Vì SA⊥(ABCD) nên SA⊥CD. Mà ABCD là hình chữ nhật nên AD⊥CD. Suy ra CD⊥(SAD). 1,0 Vì CD⊥(SAD) nên CD⊥AN. Mặt khác SD⊥AN và hai đường thẳng cắt nhau CD, SD cùng nằm trong mặt phẳng (SCD). Do vậy AN ⊥(SCD). 0,5 Hình chiếu vuông góc của AC trên (SCD) là N C nên (AC, \ (SCD)) = (AC, N C \ ) = N CA \ = ϕ. 0,5 Ta có AC = q a 2 + (a √ 2) 2 = a √ 3. Trong tam giác SAD vuông tại A 1 AN 2 = 1 SA 2 + 1 AD 2 = 1 3a 2 + 1 2a 2 = 5 6a 2 ⇒ AN = a √ 30 5 . Tam giác N CA vuông tại N nên sin ϕ = sin \ N CA = AN AC = √ 10 5 . 0,5 3.c 1,0 Vì hai tam giác SAB, SAD vuông tại A nên M, N lần lượt là các điểm trong của các đoạn thẳng SB, SD. Ta có SM SB = SM.SB SB 2 = SA 2 SB 2 = SA 2 SA 2 + AB 2 = 3a 2 3a 2 + a 2 = 3 4 ⇒ −−→ SM = 3 4 −→ SB Tương tự SN SD = 3 5 ⇒ −→ SN = 3 5 −→ SD Do đó −→ IH = − − → SI + −→ SH = − 1 2 ( −−→ SM + −→ SN) + 1 2 −→ SC = − 1 2 3 4 −→ SB + 3 5 −→ SD + 1 2 ( −→ SA + −→ AC) = − 3 8 −→ SB − 3 10 −→ SD + 1 2 ( −→ SA + −→ AC) = − 3 8 ( −→ SA + −→ AB) − 3 10 ( −→ SA + − − → AD) + 1 2 ( −→ SA + −→ AB + − − → AD) = − 7 40 −→ SA + 1 8 −→ AB + 1 5 − − → AD 0,5 Do SA, AB, AD đôi một vuông góc nên IH 2 = −→ IH 2 = − 7 40 −→ SA + 1 8 −→ AB + 1 5 − − → AD 2 = − 7 40 −→ SA 2 + 1 8 −→ AB 2 + 1 5 − − → AD 2 = 49 1600 SA 2 + 1 64 AB 2 + 1 25 AD 2 = 3a 2 16 Vậy IH = a √ 3 4 . 0,5 4 1,0 Hàm số f(x) = ax 2 + bx + c − 2020 cos πx 2 xác định và liên tục trên R . Ta có f(−1) = a − b + c, f(1) = a + b + c, f(3) = 9a + 3b + c. Từ đó và 7a + b + 3c = 0 suy ra 3f (−1) + 2f(1) + f (3) = 2 (7a + b + 3c) = 0. 0,5 + Nếu trong ba số f(−1), f (1), f (3) có một số bằng 0 thì ta có ngay điều phải chứng minh. + Nếu cả ba số f (−1), f (1), f (3) đều khác 0 thì từ 3f(−1) + 2f (1) + f(3) = 0 suy ra trong ba số f (−1), f (1), f (3) có hai số trái dấu, tích của hai số đó âm. Dẫn tới phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm. Vậy với 7a + b + 3c = 0 thì phương trình ax 2 + bx + c = 2020 cos πx 2 có ít nhất một nghiệm trên [−1; 3] ⊂ R . 0,5

(1,0 ĐIỂM)CHO CÁC SỐ THỰC A, B, C THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN 7A + B + 3C...

Câu 4 (1,0 điểm)

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện 7a + b + 3c = 0. Chứng minh rằng phương trình

ax

+ bx + c = 2020. cos πx

có ít nhất một nghiệm trên R .

2

- - - Hết - - - -

SỞ GDĐT BẮC NINH

Bạn đang xem câu 4 - Đề kiểm tra chất lượng Toán 11 cuối năm học 2019 - 2020 sở GD&ĐT Bắc Ninh -