BÀI 5 (0,5 ĐIỂM) CHO CÁC SỐ KHÔNG ÂM X, Y, Z THỎA MÃN X + Y + Z = 1. T...

Câu 4:

a. Chứng minh: và ba điểm E, I, F thẳng hàng.

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) và

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I)

Suy ra tam giác MHB vuông tại H, đường cao HF

Vậy (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

b. Kẻ đường kính MD của đường tròn (O), MD cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai

là N . Chứng minh tứ giác BONF nội tiếp.

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I)

Suy ra (cùng phụ góc )

Mà (do tứ giác MHNF nội tiếp)

Nên

Mặt khác ta có: (kề bù) nên

Vậy tứ giác BONF nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°)

c. MD cắt EF tại K. Chứng minh

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Chứng minh tương tự câu a, ta được tam giác AMH vuông tại H, đường cao HE.

Khi đó: (câu a) nên tam giác MAB

đồng dạng tam giác MFE

Suy ra (hai góc tương ứng bằng nhau)

Mặt khác ta có:

Ta có tam giác MKF đồng dạng với tam giác MBD (g.g)

Suy ra (câu a)

Khi đó tam giác MHK đồng dạng với tam giác MDH (c.g.c)

Vậy (hai góc tương ứng)

d. Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P . Chứng

minh ba đường thẳng MP, FE và BA đồng quy.

Gọi Q là giao điểm của PM và AB.

Xét tam giác MQO có:

MH là đường cao

OI là đường cao (vì OI là đường nối tâm của hai đường tròn)

MH cắt OI tại I

Suy ra I là trực tâm tam giác MQO

Mặt khác 2 điểm Q, E, F thẳng hàng

Vậy ba đường thẳng MP, EF và BA đồng quy.