SUY RA TỪ TÍNH TUYẾN TÍNH CỦA TÍCH PHÂN Đ2. CÁC BỔ ĐỀ FOURIER BỔ ĐỀ...

4. Suy ra từ tính tuyến tính của tích phân

Đ2. Các bổ đề Fourier

Bổ đề 1 Cho hàm f ∈ L

¹

. Với mỗi f ∈ 3 cố định kí hiệu f

x

(t) = f(t - x) với mọi t ∈ 3 Khi đó ánh xạ Φ : 3 → L

¹

, f → f

x

là liên tục theo chuẩn. Chứng minh Ta chứng minh rằng ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : ∀ x, y ∈ 3, | x - y | < δ ⇒ || Φ(x) - Φ(y) ||

1

< ε Thật vậy Do hàm f khả tích tuyệt đối nên 1ε ∀ ε > 0, ∃ N > 0 :

∫

tf(| < )|dt4

≥N

|

t|

Trong khoảng [-N, N] hàm f có hữu hạn điểm gián đoạn loại một a

₁

= - N < a

₂

< ... < a

_m

= N với ∆ = Max{| a

_k

- a

_k-1

| : k = 1...m} và trên mỗi khoảng con [a

_k-1

, a

_k

] hàm có thể thác triển thành hàm liên tục đều ε∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : | x - y | < δ ⇒ | f(x) - f(y) | < ∆2mTừ đó suy ra −ớc l−ợng || Φ(x) - Φ(y) ||

₁

=

^+∞

∫

−−x) f(t y)dtf

∞

−

a

k

m

− ≤

∫

xyf < ε f +

∑ ∫

=

₋

1

≥

N

• Với mọi (λ, t, x) ∈ 3

^*

₊

ì 3 ì 3 kí hiệu Ch−ơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace 1

_ixt

π H(λt)e dt (5.2.1) H(t) = e

^-|t|

và h

_λ

(x) =

^+∞

∫

Bổ đề 2 Các hàm H(t) và h

_λ

(x) có các tính chất sau đây