B) ĐẶT 32 X A ; X 1 B− = − =
242. a) Đáp số : 24 ; - 11.
b) Đặt
3
2 x a ; x 1 b
− =
− =
. Đáp số : 1 ; 2 ; 10.
c) Lập phương hai vế. Đáp số : 0 ; ±
5
2
d) Đặt
3
2x 1
−
= y. Giải hệ : x
3
+ 1 = 2y , y
3
+ 1 = 2x, được (x – y)(x
2
+ xy + y
2
+ 2) = 0
− ±
.
⇔ x = y. Đáp số : 1 ;
1
5
e) Rút gọn vế trái được :
2
1 x x 4
(
−
2
−
)
. Đáp số : x = 4.
g) Đặt
3
7 x a ; x 5 b
− =
3
− =
. Ta cĩ : a
3
+ b
3
= 2, a
3
– b
3
= 12 – 2x, do đĩ vế phải của phương trình
3
3
a
b
−
−
. Phương trình đã cho trở thành :
a b
−
.
đã cho là
a b
+
=
a b a
b
−
=
−
Do a
3
+ b
3
= 2 nên
+
+
⇒ (a – b)(a
3
+ b
3
) = (a + b)(a
3
– b
3
)
Do a + b ≠ 0 nên : (a – b)(a
2
– ab + b
2
= (a – b)(a
2
+ ab + b
2
).
Từ a = b ta được x = 6. Từ ab = 0 ta được x = 7 ; x = 5.
h) Đặt
3
x 1 a ; x 1 b
+ =
3
− =
. Ta cĩ : a
2
+ b
2
+ ab = 1 (1) ; a
3
– b
3
= 2 (2).
Từ (1) và (2) : a – b = 2. Thay b = a – 2 vào (1) ta được a = 1. Đáp số : x = 0.
i) Cách 1 : x = - 2 nghiệm đúng phương trình. Với x + 2 ≠ 0, chia hai vế cho
3
x 2
+
.
+
=
+
=
Đặt
3
x 1
a ;
x 3
b
x 2
x 2
+
+
. Giải hệ a
3
+ b
3
= 2, a + b = - 1. Hệ này vơ nghiệm.
Cách 2 : Đặt
3
x 2
+
= y. Chuyển vế :
3
y 1
3
− +
3
y 1
3
+ = −
y
. Lập phương hai vế ta được :
y
3
– 1 + y
3
+ 1 + 3.
3
y 1
6
−
.(- y) = - y
3
⇔ y
3
= y.
3
y 1
6
−
.
Với y = 0, cĩ nghiệm x = - 2. Với y ≠ 0, cĩ y
2
=
3
y 1
6
−
. Lập phương : y
6
= y
6
– 1. Vơ n
0
.
Cách 3 : Ta thấy x = - 2 nghiệm đúng phương trình. Với x < - 2, x > - 2, phương trình vơ nghiệm,
xem bảng dưới đây :
x
3
x 1
+
3
x 2
+
3
x 3
+
Vế
trái
< - 1
x <
- 2
> - 1
< 0
> 0
< 1
> 1
<
0
x >
>
- x
k) Đặt 1 + x = a , 1 – x = b. Ta cĩ : a + b = 2 (1),
4
ab
+
4
a
+
4
b
= 3 (2)
≤
+
, ta cĩ :
Theo bất đẳng thức Cauchy
mn
m n
a
b 1
a 1
b
+
+
+
3
a. b
1. a
1. b
=
+
+
≤
+
+
=
2
2
2
1 a 1 b
a b
a
b 1
1
2 3
=
+
+ ≤
+
+ =
+ =
.
Phải xảy ra dấu đẳng thức, tức là : a = b = 1. Do đĩ x = 0.
l) Đặt
4
a x m 0 ; b x n 0
− = ≥
4
− = ≥
thì m
4
+ n
4
= a + b – 2x.
Phương trình đã cho trở thành : m + n =
4
m
4
+
n
4
. Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế rồi thu gọn :
2mn(2m
2
+ 3mn + 2n
2
) = 0.
Suy ra m = 0 hoặc n = 0, cịn nếu m, n > 0 thì 2m
2
+ 3mn + 2n
2
> 0.
Do đĩ x = a , x = b. Ta phải cĩ x ≤ a , x ≤ b để các căn thức cĩ nghĩa.
Giả sử a ≤ b thì nghiệm của phương trình đã cho là x = a.