TỔNG QUÁT M, N, P, Q, A, B >0 CMR 1 NBP...

2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0

CMR

1

nbpcma ≥ + + − + +

2

(

m n p

) (

m n p

)

2+ ++cba

Ph−ơng pháp 9: dùng tam thức bậc hai

L−u ý :

Cho tam thức bậc hai

f

( )

x =ax

²

+bx+c

Nếu

∆<0

thì

a.f

( )

x >0

∀x∈Rx≠−b

Nếu

∆=0

thì

a.f

( )

x >0

∀

Nếu

∆>0

thì

a.f

( )

x >0

với

x<x

₁

hoặc

x>x

₂

(

x

₂

>x

₁

)

a.f

( )

x <0

với

x

₁

<x<x

₂

Ví dụ1:

Chứng minh rằng

f

(

x,y

)

=x

²

+5y

²

−4xy+2x−6y+3>0

(1)

Giải:

Ta có (1)

^⇔

x

²

−2x

(

2y−1

)

+5y

²

−6y+3>0

∆′=

(

2y−1

)

²

−5y

²

+6y−336514=−y

(

1

)

1 0<

Vậy

f

(

x,y

)

>0

với mọi x, y

Ví dụ2:

Chứng minh rằng

f

(

x,y

)

=x

²

y

⁴

+2

(

x

²

+2

)

.y

²

+4xy+x

²

>4xy

³

Giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh t−ơng đ−ơng với

x

²

y

⁴

+2

(

x

²

+2

)

.y

²

+4xy+x

²

−4xy

³

>0

⇔(y

²

+1)

²

.x

²

+4y

(

1−y

)

²

x+4y

²

>0

Ta có

∆′=4y

²

(

1−y

²

)

²

−4y

²

(

y

²

+1

)

²

=−16y

²

<0

Vì a = (

y

²

+1

)

²

>0

vậy

f

(

x,y

)

>0

(đpcm)

Ph−ơng pháp 10: dùng quy nạp toán học

Kiến thức:

Để chứng minh bất đẳng thức đúng với

n>n

₀

ta thực hiện các b−ớc sau :

1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với

n=n

₀