CHO ĐƯỜNG TRÒN (O;R) ĐƯỜNG KÍNH AB.GỌI C LÀ ĐIỂM BẤT KỲ THUỘC Đ...

Bài 11 Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Gọi C là điểm bất kỳ thuộc đường

tròn đó (C



A&B). M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ AC và BC. Các

đường thẳng BN và AC cắt nhau tại I, các dây cung AN và BC cắt nhau ở P. Chứng minh:

a) Tứ giác ICPN nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

b) KN là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

c) Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (O;R) thì đường thẳng MN luôn

tiếp xúc với một đường tròn cố định.

BÀI GIẢI

a) Chứng minh tứ giác ICPN nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ

I

giác đó:

Ta có

^{ }ACB ANB 90

⁰

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

K

/

C

N

Do đó:

ICP INP^{ } 90

⁰

=

H

M

P

Tứ giác ICPN có

^{ }ICP INP 180

⁰

nên nội tiếp được

trong một đường tròn. Tâm K của đường tròn ngoại tiếp

A

B

O

tứ giác ICPN là trung điểm của đoạn thẳng IP.

b) Chứng minh KN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Tam giác INP vuông tại N, K là trung điểm IP nên

1KN KI  2IP

. Vậy tam giác IKN cân ở K . Do đó

KIN KNI^{ }

(1).

Mặt khác

^{ }NKP NCP

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung PN đường tròn (K)) (2)

Trang chủ:

https://traloihay.net

| Email hỗ trợ: [email protected] | Hotline:

024 2242 6188

N là trung điểm cung CB nên

CN BN^{ } CN NB

. Vậy

^

NCB cân tại N.

Do đó :

NCB NBC^{ }

(3). Từ (1), (2) và (3) suy ra

^{ }INK IBC

, hai góc này ở vị trí

đồng vị nên KN // BC.

Mặt khác ON

^

BC nên KN

^

ON. Vậy KN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Chú ý: * Có thể chứng minh

^{ }KNI ONB 90

⁰

KNO^90

⁰

* hoặc chứng minh

KNA ANO^{ } 90

⁰

KNO^90

⁰

.

c) Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (O) thì đường thẳng MN luôn

tiếp xúc với một đường tròn cố định:

Ta có

^{ }AM MC

(gt) nên

^{ }AOM MOC

. Vậy OM là phân giác của

^AOC

.

Tương tự ON là phân giác của

COB^

, mà

^AOC

và

COB^

kề bù nên

^MON 90

⁰

.

Vậy tam giác MON vuông cân ở O.

R

không đổi.

Kẻ OH

^

MN, ta có OH = OM.sinM = R.

²2

=

²2

Vậy khi C di động trên đường tròn (O) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một

R

).

đường tròn cố định (O;

²