CHO TAM GIÁC ABC CÓ BA GÓC NHỌN ( AB< AC) VÀ ÑƯỜNG CAO AH ( K∈ BC)

Câu 8. (3 ñiểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB< AC) và ñường cao AH ( K

∈

BC). Vẽ ñường tròn

(O) ñường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với ñường tròn (O)( với M, N là các tiếp ñiểm, M và B

nằm trên nữa mặt phẳng có bờ là ñường thẳng AO ). Gọi H là giao ñiểm của hai ñường thẳng AN và AK.

a) Chứng minh tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh KA là tia phân giác góc AKN

c) Chứng minh

AN

²

= AK AH.

Cách giải:

A

N

H

M

B

C

O

K

Xét ñường tròn (O) có AM là tiếp tuyến nên

AM ⊥OM

hay

AMO=90

⁰

Lại có

AK ⊥BC

suy ra

AKO =90

⁰

Xét tứ giác AMKO có

AMO= AKO=90

⁰

nên hai ñỉnh M, K kề nhau cùng nhìn cạnh AO dưới các góc

vuông, do ñó tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp(ñpcm)

b) Chứng minh KA là tia phân giác AKN

xét ñường tròn (O) có AN là tiếp tuyến nên

AN ⊥ON

hay

ANO=90

⁰

Xét tứ giác KONA có

AKO=ANO=90

⁰

+90

⁰

=180

⁰

mà hai góc ở vị trí ñối nhau nên tứ giác KONA là

tứ giác nội tiếp. Suy ta

NKA =NOA

(1)

Lại có tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp (theo câu a) nên

MKA =MOA

(2)

Xét ñường tròn (O) có AM, AN là 2 tiếp tuyến nên OA là tia phân giác của

MON

(TÍNH CHẤT)

Do ñó

MOA =NOA

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra

MKA =NKA

hay KA là tia phân giác góc MKN (ñpcm)

c) Chứng minh

AN

²

=AK AH.

xét ñường tròn (O) có

AMN

là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung MN nên

^{1 cung MN 4}

( )

AMN = 2sd

lại có

1MKA=MOA= 2MON

( theo câu b) nên

^{1 cung MN 5}

( )

MKA= 2sd

Từ (4), (5) suy ra

AMH = MKA

^.

Xét

∆AMH

và

∆AKM

có;

chungMAHAMH = MKA

(cmt)

AM AK AH

Nên

^∆AMH ∼^{∆AKM g g}

(

^.

)

^{suy ra}

AM AH

²

.AK = AM ⇔ =

Lại có AM = AN ( tinh chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên AN

²

=AK.AH (ñpcm)