CHO ÑƯỜNG TRÒN TÂM O, BÁN KÍNH R VÀ MỘT ÑƯỜNG THẲNG D KHÔNG CẮT...

Câu 4. Cho ñường tròn tâm O, bán kính R và một ñường thẳng d không cắt ñường tròn ( )O . Dựng ñường thẳng OH vuông góc với ñường thẳng d tại ñiểm H. Trên ñường thẳng d lấy ñiểm K (khác ñiểm H), qua K vẽ hai tiếp tuyến KA và KB với ñường tròn ( )O , (A và B là các tiếp ñiểm) sao cho A và H nằm về hai phía của ñường thẳng OK. a) Chứng minh tứ giác KAOH nội tiếp ñược trong ñường tròn.b) ðường thẳng AB cắt ñường thẳng OH tại ñiểm I. Chứng minh rằng IA IB⋅ =IH IO⋅ và I là ñiểm cốñịnh khi ñiểm K chạy trên ñường thẳng d cố ñịnh.c) Khi OK =2 , R OH =R 3. Tính diện tích tam giác KAI theo R.Lời giải a) Ta có KAO=90 (

^°

KA⊥ AO), 90 ( )KHO=

^°

OH ⊥KHXét tứ giác KAOHcó KAO+KBO=180

^°

nên là tứ giác nội tiếp. b) Ta có KBO+KAO=180

^°

nên KAOB là tứ giác nội tiếp và ñỉnh H B A, , cùng nhìn cạnh OK dưới mộtgóc vuông nên năm ñiểm K A B O H, , , , cùng thuộc ñường tròn ñường kính OKXét tam giác IAH và tam giác IOB có HIA=BIO (ñối ñỉnh) và AHI =ABO (hai góc nội tiếp cùng chắn ∆ ∽∆ ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ . cung AO). Do ñó ( . ) IA IOIAH IOB g g IA IB IH IOIH IBXét tứ giác AOBHcó OHB là góc nội tiếp chắn cung OB, OBA là góc nội tiếp chắn cung OA; Mà OA=OB=R nên OHB =OBA. Xét ∆OIB và ∆OBH có BOH góc chung và OHB=OBA (cmt).

2

2

∆ ∽∆ ⇒ = ⇒ = = . ( . ) OI OB OB ROIB OBH g g OIDo ñó OB OH OH OHTa lại có ñường thẳng d cố ñịnh nên OH không ñổi (OH ⊥d). Vậy ñiểm I cố ñịnh khi K chạy trên ñường thẳng d cố ñịnh. c) Gọi M là giao ñiểm của OK và ABTheo tính chất tiếp tuyến ta có KA=KB;Lại có OA=OB=R nên OK là ñường trung trực của AB, suy ra AB⊥OK tại M và MA=MB.R R R= = = . OI OH RTheo câu b) ta có 3 3Xét ∆OAK vuông tại A, có OA R R= ⋅ ⇔ = = =

2

OA OM OK OMOK R2 2R RSuy ra 2 ³KM =OK−OM = R− =R R R R

2

3 3 3AM =OM KM⋅ = ⋅ = ⇒ AM =2 2 4 2Xét ∆OMI vuông tại M , có = − =   −  =

2

2

3MI OI OM     2 63Suy ra ^{3 3 2 3}AI =AM +MI = + =2 6 31 1 3 2 3

2

3Diện tích ∆AKI là S = AI KM⋅ = ⋅ ⋅ = .2 2 2 3 2 >= +x y =x y .P x y