S = ( P - A P )( - B P )( - C P )( - D ) A B C DTRONG ĐÓ , , ,...

12. S = ( p - a p )( - b p )( - c p )( - d )

a b c d

Trong đó , , , ,

AB a BC b CA c DA d + + + p

= = = = = .

2

Ví dụ 11. Hãy chứng minh sự tương đương giữa các khẳng định (1) và (11) ở trên.

Giải. Ta đã biết (1) suy ra (11) theo ví dụ 6.

Để chứng minh (11) suy ra (1), gọi D ¢ là giao

điểm của ^BD với đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC . Khi đó tứ giác ABCD ¢ là tứ giác nội tiếp, nên

AB BC CA

¢ ¢ ¢ ¢ (*), trong đó H I K ¢ ¢ , , ¢ lần lượt

D H + DT = D K

là các chân đường vuông góc hạ từ D ¢ đến

AB BC CA .

, ,

¢ ¢ ¢

Mặt khác, ^{D H D B DT}

= = nên

DH DB DI

= ¢ (**)

¢ ¢ = ¢ và DT ^{D B DI .}

D B DH

.

D H DB

DB

+ = ¢

AB BC CA D B

Thay (**) vào (*) ta có ^.

¢ ¢

DH DI DB D K

¢ ¢ ¢ ¢

Mà ^{AB BC CA}

= = , với M là giao điểm của BD với

DH + DI = DK nên ^{D B D K D M}

DB DK DM

AC .

- = -  =

Theo tính chất tỉ lệ thức, ta có ^{| DB D B | | DM D M | DD DD}

DB DM DB DM

Mà DB > DM nên DD ¢ =  0 D º D ¢ .

Do đó ^ABCD là tứ giác nội tiếp.

Lưu ý: Bạn đọc tự chứng minh sự tương đương của các cặp mệnh đề còn lại ở trên.

Trang 68