02=UCHO DÃY S Ố ( ) UN ĐU C XÁC Đ NH
2,0
2
=
u
Cho dãy s ố ( ) u
n
đu c xác đ nh: ợ ị
1
.
2013
− = − ∀
2
(2 9 ) 2 (2 5 ), 1
u u
+
u
+
u n
1
1
n
n
n
n
u u
n
n
v = u + u + + u
Xét dãy s ố
1
2
− − L − . Tìm lim v
n
.
1 1 1
n
1
2
0,25
Ta có
un
0∀n 1.
− = − � − = −
u u u u u u
2 9 2
+
+
+
2 9 2 2 5
n
2 5
Khi đó:
2
(
1
)
1
( )
1
2
( )
n
n
n
n
n
+
1
2 4 10
�
9
2
u
+
− = u − u
n
n
n
x = u
∀n 1. Khi đó ta có dãy m i ớ ( ) x
n
đ ượ c xác đ nh b i: ị ở
Đ t ặ 2
x
= − + ∀
5 9 1
x
+
x x n
Ch ng minh ứ ( ) x
n
là dãy tăng:
Xét hi u: ệ x
n
+
1
− x
n
= x
n
2
− 5 x
n
+ − 9 x
n
= ( x
n
− 3 )
2
0
Do x
1
= 2013 3 > nên x
n
+
1
− x
n
> 0 suy ra dãy ( ) x
n
là dãy tăng.
0,5
Ch ng minh (x ứ
n
) không b ch n hay ị ặ lim x
n
= + :
Gi s (x ả ử
n
) b ch n, do dãy tăng và b ch n nên t n t i gi i h n h u h n. ị ặ ị ặ ồ ạ ớ ạ ữ ạ
Gi s dãy (x ả ử
n
) có gi i h n h u h n, đ t ớ ạ ữ ạ ặ lim x
n
= a a , ( > 2013 ) .
T công th c truy h i ừ ứ ồ x
n
+
1
= x
n
2
− 5 x
n
+ 9
L y gi i h n hai v , ta đ ấ ớ ạ ế ượ c: a a =
2
− 5 a + 9 � a = 3 (không th a mãn) ỏ
Do đó dãy đã cho không có gi i h n h u h n. ớ ạ ữ ạ
Ta có:
� �
� � � �
1 1 1 1
v u
= − + + − = � � � − + + − � � � � = � − + + − � �
... 2 2 ... 2 2 ...
1
∀ n
1 1 2 2 2 2
u u x x
Mà:
− − −
2 3 3
x = x − x
+
= � � − − − � � � � = − − − � �
v x x
+
x
+
2 2
Do đó, ta có:
3 3 2013 3 3
1
1
1
lim v
n
= 1005
Mà lim x
n