CHO NỬA ĐƯỜNG TRÒN (O; R) ĐƯỜNG KÍNH AB. ĐIỂM M THUỘC NỬA ĐƯỜNG T...

Bài 1: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường tròn. Gọi H là điểm chính giữa cung AM. Tia BH cắt AM tại I. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A cắt BH tại K. Nối AH cắt BM tại E. Chứng minh: a, Tam giác BAE là tam giác cân b, KH.KB = KE.KE Lời giải: a, + Có AHB nhìn đường kính AB nên AHB=90

⁰

Suy ra BH vuông góc với AH hay BH vuông góc với AE + Tam giác BAE có BH vuông góc với AE nên BH là đường cao của tam giác ABE (1) + Có ABH là góc nội tiếp chắn cung AH MBH là góc nội tiếp chắn cung HM Mà số đo cung AH bằng số đo cung HM Suy ra ABH =HBM hay BH là phân giác của ABE(1) + Từ (1) và (2) có BH vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác ABE nên tam giác ABE cân tại B (tính chất) b, + Có tam giác ABE là tam giác cân tại B, BH là đường cao nên BH là đường trung tuyến nên AH = HE + Xét tam giác AKE có KH vuông góc với AE và AH = HE nên tam giác AKE cân tại K. Suy ra AK = KE (tính chất) + Xét ram giác AKB có BAK =90

⁰

và AH vuông góc với BK nên AK

²

=KH KB.mà AK = KE (chứng minh trên) nên KE

²

=KH KB. (đpcm)