A (1,0 ĐIỂ M). ACHO TAM GIÁC ĐỀ U ABC C Ạ NH 8CM. CHIA TAM GIÁC...

Câu 3a (1,0 điể m).

A

Cho tam giác đề u ABC c ạ nh 8cm. Chia tam giác này thành 64

tam giác đề u c ạ nh 1cm b ởi các đườ ng th ẳ ng song song v ớ i các

c ạnh tam giác ABC (như hình vẽ ). G ọ i S là t ậ p h ợp các đỉ nh c ủ a

các tam giác c ạ nh 1cm. Ch ọ n ng ẫu nhiên 4 đỉ nh thu ộ c S. Tính

xác su ất sao cho 4 đỉnh đượ c ch ọn là 4 đỉ nh c ủ a hình bình hành

n ằ m trong mi ề n trong c ủ a tam giác ABC và có c ạ nh ch ứ a các

c ạ nh c ủ a các tam giác c ạ nh 1 cm ở trên.

B C

Hướ ng d ẫ n

Trên c ạnh BC ta có 9 đỉ nh c ủa các tam giác đề u c ạ nh 1cm (k ể c ả B và C), trên đườ ng th ẳ ng ti ế p theo

song song BC (phía trên BC) ta có 8 đỉ nh c ủa các tam giác đề u c ạ nh 1cm, ... cu ối cùng đế n A có 1

đỉ nh c ủa tam giác đề u c ạ nh 1cm. Ta có ^{n S}          ^{9 8 7 ... 2 1 45} .

Như thế s ố ph ầ n t ử c ủ a không gian m ẫ u là: n     C

.

Theo yêu c ầ u: n ế u có hình bình hành t ạ o thành t ừ 4 đỉ nh trong S thì 4 đỉnh đó chỉ có th ể thu ộ c tam

giác đề u c ạ nh 5cm (t ứ c là b ỏ đi tấ t c ả các đỉ nh c ủ a các tam giác c ạ nh 1cm n ằ m trên ba c ạ nh BC,

CA, AB và c ạnh có liên quan đến các đỉnh đó).

1

4

2

3

• Trườ ng h ợ p 1: Các c ạ nh c ủ a hình bình hành n ằ m trên MN ho ặc có đúng 1 đỉ nh thu ộ c MN.

- Các hình bình hành có c ạ nh n ằ m trên MN và

+ T ạ o b ởi hai đoạ n MN, DE: Ta c ầ n ch ọn thêm 2 đườ ng th ẳ ng song song ho ặ c trùng v ớ i DM

(ho ặ c song song trùng EN) thì t ạ o ra hình bình hành và m ỗi trườ ng h ợ p này có C

cách. Như vậ y

có: C

 C

 20 hình bình hành.

+ T ạ o b ởi hai đoạ n MN, GF: L ặ p l ạ i l ậ p lu ậ n trên ta có có: C

 C

 12 hình.

+ T ạ o b ở i hai đoạ n MN, KT: L ặ p l ạ i l ậ p lu ậ n trên ta có có: C

 C

 2 hình.

V ậ y các hình bình hành có c ạ nh n ằ m trên MN có 20 + 12 + 6 + 2 = 40 hình.

- Các hình bình hành có đúng 1 đỉ nh thu ộ c MN

+ Đỉ nh s ố 1 và s ố 4: đề u có 4 hình bình hành

+ Đỉ nh s ố 2 và s ố 3: đề u có 3 hình bình hành.

V ậy các hình bình hành có đúng 1 đỉ nh thu ộ c MN có 2.(4 + 3) = 14 hình.

Do đó trườ ng h ợ p 1 ta có: 40 + 14 = 54 hình.

• Trườ ng h ợ p 2: Các c ạ nh hình hành n ằm trên DE nhưng không thuộ c MN ho ặc có đúng 1 đỉ nh

thu ộ c DE.

So v ới trườ ng h ợ p 1 thì ch ỉ s ố t ổ h ợ p gi ảm đi 1, ta làm tương tự và có:

 C

 C

   C

 C

   C

 C

   3   3 2   28 hình.

• Trườ ng h ợ p 3: Các c ạ nh hình hành n ằm trên GF nhưng không thuộ c MN và DE ho ặc có đúng 1

đỉ nh thu ộ c GF.

Tương tự ta có  ^C

^{ C}

  ^{ C}

^{ C}

 ^{  2  2   12 hình.}

• Trườ ng h ợ p 4: Các c ạ nh hình hành n ằm trên HI nhưng không thuộ c MN, DE và GF ho ặc có đúng

1 đỉ nh thu ộ c HI.

Ta có  ^C

^{ C}

 ^{  1 3 hình.}

S ố các hình bình hành trong b ốn trườ ng h ợ p là: 54 + 28 + 12 + 3 = 97 hình.

97 97

p  C  .

V ậ y xác su ấ t c ầ n tìm là:

148995

Lưu ý:

Đề bài yêu c ầu các đỉ nh hình bình hành n ằ m trong mi ề n trong c ủ a tam giác ABC nên s ố hình bình

hành là tương đố i nh ỏ . N ếu các đỉ nh hình hành không ngoài tam giác ABC thì s ẽ nhi ề u hình hơn .