(3,0 ĐIỂ M). CHO HÌNH CHÓP S.ABCD CÓ ĐÁY LÀ HÌNH VUÔNG CẠ NH A...

Câu 4 (3,0 điể m).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạ nh a, SA vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (ABCD), SA = a.

M ộ t m ặ t ph ẳ ng   ^{ qua CD c ắ t SA, SB l ần lượ t t ạ i M, N . Đặ} t AM = x, v ớ i 0   x a .

a. T ứ giác MNCD là hình gì? Tính di ệ n tích t ứ giác MNCD theo a và x.

b. Xác đị nh x để th ể tích kh ố i chóp S.MNCD b ằ ng 2

9 l ầ n th ể tích kh ố i chóp S.ABCD.

Hướ ng d ẫ n

Vì ABCD là hình vuông nên AB // CD, suy ra AB //   ^ do đó AB // MN hay ta có MNCD là hình

thang. M ặ t khác: CD  AD, CD  SA nên CD  mp(SAD) suy ra MN  (SAD) suy ra MN  MD.

V ậ y t ứ giác MNCD là hình thang vuông t ạ i D và M.

T ừ đó ta có DM là đườ ng cao c ủ a hình thang MNCD.

      và MA = x nên DM  x

 a

. Do đó ta tính diệ n tích

Ta có MN SM a x MN a x

AB SA a

CD MN DM a x x a

  .

S   

MNCD là:   ^.  ² 

2 2

1 .

V  SAS  a (1). K ẻ SH vuông góc v ớ i DM, (H thu ộ c DM), ta có:

Ta có

3 3

MN  (SAD) (theo ch ứ ng minh câu a) nên MN  SH, suy ra SH  (MNCD), t ừ đó SH là đườ ng cao

c ủ a kh ố i chóp S.MNCD.

Trong hai tam giác vuông đồ ng d ạ ng SHM và DAM ta có:

 

 

a a x

SH SM a x SH

   

DA DM x a x x a

  do đó thể tích c ủ a kh ố i chóp S.MNCD là:

   

  

    

a a x a x x a a a x a x

' 1 . .

 

V x a

3 2 6

 (2).

a a  x a  x a



T ừ (1), (2) và yêu c ầ u bài toán ta có phương trình:   ²  2 .

6 9 3

    

x x x a

     ²   ²

                 

   

t t t t x

9 1 2 4 9 1 2 4, 0;1 0;1

 

a a a

   .

x  a thì th ể tích kh ố i chóp S.MNCD b ằ ng 2

V ậ y v ớ i 2

3