CHO MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Câu 15.

Cho mặt phẳng

và đường thẳng

. Đường

2

1

3

(

3; 1;2

)

−

A

−

∆

( )

^P

thẳng d đi qua điểm

, cắt đường thẳng

và song song với mặt phẳng

cĩ phương

trình là

x

+

=

y

−

=

z

+

x

−

=

y

+

=

z

−

3

1

2

A.

B.

−

8

8

3

4

10

9

−

=

+

=

−

x

y

z

C.

D.

3

1

2

8

6

11

−

−

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÌM ĐIỂM:

A.Một số bài tốn về tìm điểm:

Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Phương pháp giải:





Cách 1: Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ

^{Ptr d}

( )

Ptr ( )



α

Cách 2:

B1: Đưa phương trình đường thẳng d về dạng tham số.

B2: Gọi M=d

∩

(

α

)

⇒

M

∈

d

⇒

toạ độ M theo tham số t.

B3: Mặt khác M

∈

(

α

), thế toạ độ M vào phương trình mặt phẳng (

α

) giải phương trình tìm

được t

⇒

M.

Ví dụ : Cho đường thẳng

∆

:

^x

⁻

₁

²

⁼

^y

₂

⁻

¹

⁼

₁

^z

và mặt phẳng (P) : x+y-z+3=0. Tìm toạ độ giao điểm H

của

∆

và mặt phẳng (P)

Giải :

Cách 1: Toạ độ giao điểm H là nghiệm của hệ

x 2

z

 −

=





− =



= −

1

1

x z 2 x

1



−

y 1 z

y 2z 1

y

5

H( 1; 5; 3)



=

⇔



−

=

⇔



= − ⇒

− − −







2

1



+ − + =





+ − = −





= −

x y z

3

z

3

x y z 3 0







Cách 2 :

1 2

2

 = +



= +

Đường thẳng

∆

cĩ phương trình tham số là:

^x

^y

^t

^t

. Do H=

∆∩

(P)

⇒

H

∈∆⇒

H(2+t;1+2t;t). Mặt khác



 =

z t

H

∈

(P) nên ta cĩ: 2 + t +1+2t – t +3 = 0

⇔

t = -3

⇒

H(-1;-5;-3)

Dạng 2:Tìm hình chiếu H của M trên mp(P)

Phương pháp giải:

B1: Tìm VTPT của mp(P)

B2: Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuơng gĩc mp(P) .

B3: Hình chiếu H là giao điểm của d và (P)

Ví dụ :

Trong khơng gian Oxyz, Cho mp (P): 6x + 3y + 2z – 6 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu của A(0, 0, 1) trên

mặt phẳng (P)

Giải:

Ta cĩ Mp(P) cĩ VTPT

ⁿ

^

= (6, 3, 2)

=



 =

Gọi d là đường thẳng qua A và vuơng gĩc với (P)

⇒

d cĩ VTCP

ⁿ

^

⇒

phương trình là:

^{x 6t}

y 3t



 = +

z 1 2t

H là hình chiếu vuơng gĩc của A lên (P)

⇒

H=d

∩

(P)

⇒

H

∈

d

⇒

H(6t;3t;1+2t). Mặt khác H

∈

(P) nên

ta cĩ phương trình: 6.6t+3.3t+2(1+.2t)-6=0

⇒

_t

⁴

=

49

⇒

H

^

_

^{24 12 57}

_{49 49 49}

^,

^,

^

_





Dạng 3:Tìm điểm M

^/

đối xứng với điểm M qua mp(P)

•

Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên mp(P) .



=

−

2

x

x

x

H

M

/

M



=

−

•

M

^/

đối xứng với M qua (P)

⇔

H là trung điểm của MM

^/

nên :

y

y

y





=

−

z

z

z

Ví dụ : Cho mặt phẳng

( )

P x y z

:6 3 2 6 0

+ + − =

. Tìm tọa độ điểm

A’

đối xứng với

A

(

0;0;1

)

qua mặt

phẳng (P).

Giải:

. Gọi H là điểm chiếu của A lên (P), ta cĩ

24 12 57

;

;

H









49 49 49





(đã giải trong bài tìm hình chiếu của M trên

mp).

Vì

A’ đối xứng

A

qua mặt phẳng (P) nên

H

là trung điểm của

2

48



=

−

=

H

A

49

24

A



=

−

=

AA’

⇒

A





⇒

'

48 24 65

;

;

2

49





2

65



49

Dạng4:Tìm điểm H là hình chiếu của M trên đường thẳng d

Cách 1 :

của d



Tìm VTCP

a



_d



Viết phương trình mp(

α

) qua M và vuơng gĩc với đường thẳng d: ta cĩ

n

=

a



Toạ độ H là nghiệm cûa hpt :

^{Ptr d}

( )

x x

at

 = +

+

0

, d cĩ VTCP

^a

^

= (a, b, c)

y y

bt



Phương trình tham số của d là

^{ =}

z z

ct



Do H là hình chiếu của A trên d

⇒

H

∈

d

⇒

H(x

0

+a t; y

0

+bt ; z

0

+ct)

⇒



AH

⇒

H.



Mặt khác ta cĩ :

 

AH a

⊥ ⇔

 

AH a

.

= ⇒

0

t

Ví dụ: Cho đường thẳng

:

²

³

d

−

=

+

=

1

1

1

−

−

và điểm

A

(

1;3;5

)

. Tìm tọa độ hình chiếu của A lên

đường thẳng d.

. d cĩ VTCP

u



=

(

1; 1; 1

− −

)

. Gọi (P) là mặt phẳng qua

A và vuơng gĩc d⇒ (P) cĩ VTPT

n u

 

= =

(

1; 1; 1

− −

)

, phương trình mặt

phẳng (P):

x y z

− − + =

7 0

. H là hình chiếu của A lên d nên H=d

∩

(P)

⇒

H

∈

d

⇒

H(2+t;-3-t;-t) mặt khác H

∈

(P)

⇒

ta cĩ phương

trình 2+t+3+t+t+7=0

⇒

t= -4

⇒

H

(

−

2;1;4

)

. Phương trình tham số của d cĩ VTCP

u



=

(

1; 1; 1

− −

)

.

. H là hình chiếu của A lên d nên H=d

∩

(P)

⇒

H

∈

d

⇒

H(2+t;-3-t;-t)

⇒

AH (1 ; 6 ; 5 )



= + − − − −

t

t

t

Mặt

khác ta cĩ AH

⊥

d

⇒

AH.

 

u

=

0

⇔

1+t+6+t+5+t=0

⇒

t= -4

⇒

H

(

−

2;1;4

)

Dạng 5:Tìm điểm M

^/

đối xứng với M qua đt d

•

Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên đường thẳng d.

•

M

^/

đối xứng với M qua d

⇔

H là trung điểm của MM

^/

nên :

−

−

và điểm

A

(

1;3;5

)

. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng của A

qua đường thẳng d.

H là hình chiếu của A lên d, ta cĩ H(-2;1;4) (Trong ví dụ bài tốn hình chiếu của A trên d đã giải).

Vì A’ đối xứng A qua đường thẳng d nên nên H là trung điểm của AA’ nên ta cĩ:



=

−

= −

2

5

. Vậy

A

' 5; 1;3

(

− −

)





=

−

=

2

4

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

(Q): mx + (m – 1)y + 4z – 5 = 0.

A. m = –2 V m = 2

B. m = –2 V m = 4

C. m = 2 V m = 4

D. m = –4 V m = 2