A) TA NHÌN TỔNG A + 1 DƯỚI DẠNG MỘT TÍCH 1.(A + 1) VÀ ÁP DỤNG B...

112. a) Ta nhìn tổng a + 1 dưới dạng một tích 1.(a + 1) và áp dụng bđt Cauchy : xy x y

2

(a 1) 1 a

+ = + ≤ + + = +

a 1 1.(a 1) 1

2 2

+ = + + = +

Tương tự : b 1 b 1 ; c 1 c 1

+ + + + + ≤ + + + = .

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức : a 1 b 1 c 1 a b c 3 3,5

Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a + 1 = b + 1 = c + 1 ⇔ a = b = c = 0, trái với giả thiết a + b + c = 1.

Vậy : a 1 + + b 1 + + c 1 3,5 + < ^.

b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki với hai bộ ba số :

( 1. a b 1. b c 1. c a + + + + + )

≤ + + (1 1 1)X    ( a b + ) (

+ b c + ) (

+ c a + )

   ^⇒

( ^{a b + + b c + + c a +} )

≤ 3(a + b + b + c + c + a) = 6⇒ a b + + b c + + c a + ≤ 6