CHO CÁC SỐ PHỨC Z THỎA MÃN Z =1. GỌI M M, LẦN LƯỢT LÀ GIÁ...

Câu 47. Cho các số phức z thỏa mãn z =1. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= + +z 1 2z−1. Khi đĩ: A. M =3 5, m= 2. B. M =3 5, m=4. C. M =2 5, m=2. D. M =2 10, m=2. Lời giải. Đặt z= +x yi x y

(

^; ∈ℝ

)

^.Từ z = 1 →x

²

+y

²

=1. Suy ra ^x∈ −

[

^1;1.

]

Ta cĩ P= + +z 1 2z− =1

(

x+1

)

²

+y

²

+2

(

x−1

)

²

+y

²

= 2x+ +2 2 −2x+2.Xét hàm ^{f x}

( )

= ^2x+ +^{2 2} −^2x+² trên đoạn

[

−^1;1

]

, ta được  max 3 2 5 & min 1 2.= − = = =

[

]

( )

[

]

( ) ( )

−

f x f 5 f x f

1;1

Chọn C. Cách 2. Cơng thức giải nhanh được xây dựng trên bài tốn hình học''Cho hai điểm cố định , A B. Điểm M di động trên nửa đường trịn đường kính AB. Trên tia đối MA lấy điểm Psao cho MP=kMB. Gọi K là điểm nằm cùng phía với M đối với đường thẳng AB sao cho AK ⊥AB và AK=KAB. Khi đĩ P nằm trên nửa đường trịn đường kính BK.''Chứng minh. Ta cĩ ∆^BMP∼∆^{BAK c}

(

− − ^{g c}

)

→^BPA=^BKA→ tứ giác BPKA nội tiếp hay P nằm trên nửa đường trịn đường kính BK.Khi đĩ biểu thức P=MA+kMB=AP.Do đĩ P

_max

khi AP

_max

tức AP là đường kính hay P

_max

=BK=AB. k

²

+1; P

_min

=AB.