KHI HAI TIA OX OY , KHÔNG ĐỐI NHAU, ĐIỂM M LÀ ĐIỂM NẰM BÊN TRONG...

7. Khi hai tia Ox Oy , không đối nhau, điểm M là điểm nằm bên trong góc xOy n ếu tia

OM n ằm giữa hai tia Ox Oy , . Ta còn nói tia OM n ằm trong góc xOy (h.3)

B. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho ba điểm , , A B C không th ẳng hàng, vẽ đường thẳng a không đi qua các

điểm đó nhưng cắt đoạn thẳng ^AB . Ch ứng tỏ rằng đường thẳng a cắt 1 và chỉ một trong

hai đoạn thẳng AC và BC .

Giải.

Đường thẳng a là bờ chung của hai nửa mặt phẳng đối nhau: một nửa mặt phẳng chứa

điểm A và nửa mặt phẳng kia chứa điểm B. Xét tiếp đến điểm C:

* N ếu điểm C và điểm B cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ a (h.7) thì điểm A

và điểm C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a, do đó đường thẳng a cắt đoạn

th ẳng AC mà không cắt đoạn thẳng BC

* N ếu điểm C và điểm A cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ a (h.8) thì điểm B và

điểm C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a, do đó đường thẳng a cắt đoạn thẳng

BC mà không c ắt đoạn thẳng AC. Vậy đường thẳng a cắt một và chỉ một trong hai

đoạn thẳng AC và BC.

Lưu ý: Bài toán trên đây được gọi là định lý Pap (Pap là nhà toán học Hi- Lạp thế kỷ

th ứ III)

Ví dụ 2. Trên m ột nửa đường thẳng lấy ba điểm , , M O N

trong đó O nằm giữa ^M và N . T ừ điểm ^A n ằm ngoài

đường thẳng này vẽ các tia AM AN AO , , .

a) Tia AO n ằm giữa hai tia nào ? Tia OA n ằm giữa hai tia nào ?

b) L ấy điểm ^B n ằm giữa O và A . Tia MB c ắt tia AN t ại C . Gi ải thích vì sao điểm C

n ằm giữa A và N.

Giải.(h.9)

a) Điểm O nằm giữa hai điểm M và N nên tia AO nằm giữa hai tia AM và AN.

Hai tia OM, ON đối nhau nên tia OA nằm giữa hai tia OM, ON.

b) Điểm B nằm giữa O và A nên tia MB nằm giữa hai tia MA, MO hay tia MB nằm giữa

hai tia MA, MN do đó tia MB cắt đoạn thẳng AN tại C nằm giữa A và N.

Lưu ý:Quan hệ tia nằm giữa hai tia và quan hệ điểm nằm giữa hai điểm có sự liên quan

ch ặt chẽ với nhau. Từ vị trí tia nằm giữa hai tia ta có thể suy ra vị trí điểm nằm giữa hai

điểm và ngược lại.

Ví dụ 3. Trên đường thẳng xy lấy điểm O . Vẽ thêm các tia Om On Op , , . trên hình v ẽ có tất

c ả bao nhiêu góc ? kể tên các góc đó?

Giải.( h.10) và(h.11)

Có t ất cả là 10 góc :

          , , , , , , , , , .

xOm xOn xOp xOy mOn mOp mOy nOp nOy pOy

Lưu ý : g ọi n là số tia chung gốc, khi đó số góc do n tia này tạo ra được tính theo công

n n −

th ức ( 1)

.

2

Ví dụ 4: Cho ba đoạn thẳng cắt nhau .Tính số góc tạo thành.

Giải:

* Trường hợp ba đoạn thẳng cắt nhau tại một điểm A (h.12)

S ố tia chung gốc A là 2.3 6 = (tia)

S ố góc tạo thành là 6.5

2 = 15 (góc)

* Trường hợp ba đoạn thẳng cắt nhau tại điểm A B C (h.13) , ,

Ở mỗi điểm A,B,C, mỗi điểm là gốc chung của 4 tia.

S ố góc có đỉnh ở mỗi điểm đó là : 4.3

2 = 6 ( góc)

S ố góc có đỉnh ở cả ba điểm A,B,C là: 6.3 18 = ( góc)

C. BÀI TẬP