MỖI PHẦN TỬ CỦA XM ĐỀU NẰM TRONG ĐÚNG HAI TẬP HỢP THUỘC F .TÌM GIÁ...

3. Mỗi phần tử của X

đều nằm trong đúng hai tập hợp thuộc F .

Tìm giá trị lớn nhất của m theo n.

Chứng minh. Với mỗi i ∈ X

, đặt

n

= |{ j ∈ { 1, 2, . . . , 2n }| i ∈ A

}| .

Khi đó, theo giả thiết thứ 3 thì n

= 2, ∀ i = 1, 2, . . . , mn. Mặt khác, sử dụng giả thiết thứ 2 thì

n

2n

∑

| A

∩ A

| ≤ ∑

= ∑

1 =

.

2

n

Từ đây suy ra

⇒ m ≤ 2n − 1.

mn ≤

Mặt khác, ta lấy 2n đường thẳng trong R

, trong đó không có hai đường thẳng nào song song. Tổng số

giao điểm của các cặp đường thẳng này là

= n(2n − 1) = n.m

là các phần tử của X

. Khi đó mỗi tập A

chứa 2n − 1 giao điểm trên đường thẳng i. Nhận thấy các tập

A

thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy giá trị lớn nhất của n là 2m − 1.

Ví dụ 2.4.5. Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho tồn tại n tập hợp A

, A

, . . . ,A

thỏa mãn



| A

| = 4, ∀ i = 1, 2, . . . , n

 

| A

∩ A

| = 1, ∀ 1 ≤ i < j ≤ n

 

| A

∪ A

∪ . . . ∪ A

| = n.

Chứng minh. 1. Đặt A

∪ A

∪ . . . ∪ A

= { 1, 2, . . . , n } . Với mỗi i ∈ { 1, 2, . . . , n } , đặt

n

= | j ∈ { 1, 2, . . . , n }| i ∈ A

| .

Khi đó ta có

∑

n

= | A

| + ··· + | A

| = 4n. ( ∗ )

Dẫn đến với mỗi i, thì trung bình nó xuất hiện trong 4 tập hợp A

.