GIẢ SỬ TỒN TẠI MỘT PHẦN TỬ, KHÔNG MẤT TÍNH TỔNG QUÁT, GIẢ SỬ LÀ 1 N...

2. Giả sử tồn tại một phần tử, không mất tính tổng quát, giả sử là 1 nằm trong nhiều hơn 4 tập hợp.

Không mất tính tổng quát, giả sử là A

, A

, . . . , A

.

• Vì | A

∩ A

| = 1, ∀ 1 ≤ i < j ≤ 5 và ta luôn có A

∩ A

= { 1 } , ∀ 1 ≤ i < j ≤ 5, nên 3 × 5 = 15

phần tử còn lại của các tập A

, A

, A

, A

, A

phải khác nhau.

• Ngoài ra 1 không thể nằm trong tất cả các tập hợp A

, . . . , A

, vì nếu không áp dụng lập

luận trên thì

3 × n = 3n

phần tử còn lại trong các tập A

, . . . , A

phải phân biệt. Nhưng khi đó thì

| A

∪ A

∪ . . . ∪ A

| = 3n + 1 > n,

mâu thuẫn.

• Do đó tồn tại một tập hợp trong A

, . . . , A

không chứa phần tử 1. Giả sử A

= capA

(i = 1, 2, . . . , 5) là các tập phân biệt. Nếu ngược lại, giả sử

A

∩ A

= A

∩ A

= { b }

thì b 6 = 1 do 1 6∈ A

. Nhưng khi đó thì b ∈ A

, b ∈ A

, mâu thuẫn với ý đầu tiên. Từ đây dẫn

đến tập A

phải có ít nhất 5 phần tử, mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy mỗi phần tử nằm trong không quá 4 tập hợp. Ngoài ra nếu có một phần tử nào đó nằm trong

ít hơn 4 phần tử, theo (*) phải có một phần tử nằm trong ≤ 4 tập hợp, dẫn đến mâu thuẫn. Vậy

một phần tử xuất hiện trong đúng 4 tập hợp A

.