TRONG KHÔNG GIAN VỚI HỆ TỌA ĐỘ OXYZ . CÓ BAO NHIÊU MẶT PHẲNG   P ĐI...

Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Có bao nhiêu mặt phẳng   ^P đi qua điểm

 ^{1; 2; 3} 

M và cắt các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại ba điểm A , B , C khác với gốc tọa độ

O sao cho biểu thức 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1

OA  OB  OC  .

14

1 2 3 ⁴

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Cách 1:

Trang 15

Chọn A

Dễ thấy 1 ₂ 1

OM  .

Gọi ^{OH }  ^ABC  tại H . Ta có:

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

OA  OB  OC  OH  OM  . Dấu “=” xảy ra khi và chi khi H  M .

    

1 1 1 1

 

Do đó: _{2 2 2}

  ^khi   P đi qua điểm M  1; 2; 3  có VTPT

OA OB OC

min

 ^{1; 2;3} 

OM 

Vậy có duy nhất một mặt phẳng   ^P thỏa mãn yêu cầu bài toán. Phương trình của mặt

phẳng là   P : x  2 y  3 z  14  0 _.

Cách 2:

Giả sử ^{A a}  ^{; 0; 0}  , ^B  ^{0; ; 0 b}  , ^C  ^{0; 0; c}  với a b c . .  0 .

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng   P là x y z 1

a    b c .

Vì   P đi qua điểm M  1; 2; 3  nên ta có phương trình 1 2 3

a    b c 1   1 .

Ta có: 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂

OA  OB  OC  a  b  c .

 

         ^.

Theo bất đẳng thức Bunhiakopxki ta có: 1 2 3 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂

a b c 14 a b c

suy ra 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1

a  b  c  , dấu "  " xảy ra khi a  2 b  3 c   ² .

  

a

 

 

7

Từ   ¹ và   ² suy ra

b

.

  

c

3

phẳng là   ^{P : x  2 y  3 z  14  0} .