CHO LĂNG TRỤ ABC A B C

Câu 45. Cho lăng trụ ABC A B C. ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh

a

.

Hình chiếu của

A

'

lên mặt phẳng

(

^ABC

)

trùng với trung điểm BC. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng B C' ' và

'

AA

biết góc giữa hai mặt phẳng

(

^{ABB A' '}

)

^và

(

^{A B C' ' '}

)

^bằng

^{60 .}

⁰

d

=

a

D.

³

.

d

=

a

B.

³

⁷

.

d

=

a

d

=

a

C.

²¹

.

A.

³

.

4

14

Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi

M M

,

'

lần lượt là trung điểm của

BC B C

,

'

'.

Gọi

N E

,

lần lượt là trung điểm của

AB BN

,

.

Góc giữa hai mặt phẳng

(

^{ABB A' '}

)

^và

(

^{A B C' ' '}

)

bằng góc giữa hai mặt phẳng

(

^{ABB A' '}

)

^và

(

^ABC

)

^.Vì CN⊥AB và ME/ /CN nên ^ME⊥AB

( )

¹Mặt khác ^{A M' ⊥}

(

^ABC

)

^{A M' ⊥AB}

( )

²Từ (1) và (2) ta có

^AB

^⊥

(

^{A EM}

^'

)

^

( (

^{ABB A}

^{' ' ;}

) (

^ABC

) )

⁼

^{A EM}

^'

⁼

^{60 .}

⁰

3

1

3

a

a

CN

=

AM

=

ME

=

CN

=

;

.

2

2

4

A M

=

ME

=

a

Trong tam giác vuông

A EM

'

có

'

. tan 60

⁰

³

.

Có ^{A M' '⊥B C' ' 3}

( )

( ) ( ) ( )

' ' ' ' ' ' ' ' 4A M ⊥ ABC A M ⊥ A B C A M ⊥B CTừ (3) và (4) suy ra

^{B C}

^'

^'

^⊥

(

^{AMM A}

^{' ' .}

)

Trong mặt phẳng

(

^{AMM A' '}

)

^từ

^M

^'

^{kẻ M K' ⊥AA'M K'} chính là đoạn vuông góc chung giữa

AA

'

và B C' '.Trong mặt phẳng

(

^{AMM A' '}

)

^từ

^M

^{kẻ MI ⊥AA'MI =M K' .}

MI

a

Trong tam giác

A MA

'

vuông tại

M

có

¹

₂

¹

₂

¹

₂

²⁸

₂

³

⁷

.

'

9

14

MI

=

AM

+

MA

=

a



=

d

=

a

Vậy

³

⁷

.