CHO NỬA ĐƯỜNG TRÒN ( )O ĐƯỜNG KÍNH AB

Bài 4 (3.0 điểm):

Cho nửa đường tròn

( )

O

đường kính

AB

. Vẽ tia tiếp tuyến

Ax

cùng

phía với nửa đường tròn đường kính

AB

. Lấy một điểm

M

trên tia

Ax M

(



A

)

. Vẽ tiếp

tuyến

MC

với nửa đường tròn

( )

O

(

C

là tiếp điểm). Vẽ

AC

cắt

OM

tại

E

, Vẽ

MB

cắt

nửa đường tròn

( )

O

tại

D D

(



B

)

.

a) Chứng minh: Tứ giác AMDE nội tiếp trong một đường tròn.

Ta có:

OA OC





O

thuộc trung trực của

AC

.

MA



MC

(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau )



M

thuộc trung trực của

AC

.

OM



là trung trực của

AC



OM



AC

tại

E





AEM



90



.

Ta có



ADB



90



(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)





ADM



90



.

Xét tứ giác

AMDE

có



AEM





ADM



90 (



cmt

)



AMDE

là tứ giác nội tiếp đường tròn

đường kính

AM

(tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn

AM

dưới một góc

⁹⁰

^



.

b) Chứng minh

MA

²



MD MB

,

.

Xét



MAD

và



MBA

có:



AMB

chung;





90

MDA



MAB





~

( . )

MA

MB

(2

MAD

MBA g g

 







cạnh tương ứng

)



MA

²



MD MB

.

.

MD

MA

c) Vẽ

CH

vuông góc với

AB H

(



AB

).

Chứng minh rằng

MB

đi qua trung điểm của đoạn

thẳng

CH

.

Gọi

MB CH





{ }

N

.

Vì

AEDM

là tứ giác nội tiếp (cmt) nên

DEC





AMD



(góc ngoài và góc trong tại đinh đối

diện của tứ giác nội tiếp).

Mà



AMD



DAB



(cùng phụ với



MAD

) nên



DEC



DAB



(1).













90

BNH NBH



















BNH

DAB

DNC

DAB

Ta có

DNC





BNH



(đối đinh), mà

(2).









DAB NBH





Từ (1) và

(2)



DEC







DNC

.

DENC



là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng

nhau).

DNE

DCE





(2 góc nội tiếp cùng chắn cung

DE

).

Mà

DCE





DCA





DBA



( 2 góc nội tiểp cùng chắn cung

DA

).

DNE

DBA





. Mà 2 góc này nằm ở vị trí 2 góc đồng vị nên

EN

/ /

AB

hay

EN

/ /

AH

.

Lại có:

^E

là trung điểm của

AC

(do OM

là trung trực của

AC OM

,



AC



{ }

E

).

N



là trung điểm của

CH

(định lí đường trung bình trong tam giác

ACH

).

Vậy

MB

đi qua

N

là trung điểm của

CH

(đpcm).