CẮT HÌNH NÓN ĐỈNH S BỞI MỘT MẶT PHẲNG ĐI QUA TRỤC TA ĐƯỢC THIẾT DIỆN...

Câu 40: Cắt hình nón đỉnh

S

bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là tam giác

SAB

vuông cân có cạnh huyền bằng a 2. Gọi

C

là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón sao cho

mặt phẳng ( SBC ) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 60 . Diện tích của tam giác

⁰

SBC

bằng

a B. 5

²

.

a C. 5

²

.

a D. 2

²

.

a

A. 3 .

²

4

3

2

Hướng dẫn giải Chọn D.

Gọi O là tâm của đường tròn đáy. Giả sử mặt phẳng đi qua trục SO của hình nón và cắt hình nón theo

một thiết diện là tam giác ∆ SAB vuông cân tại S có cạnh huyền AB a = 2 .

SO OA OB= = = AB a=

,

²r OB= = AB a=

.

Ta có ∆ SAB vuông cân tại S nên

²2 2

Gọi

M

là trung điểm của BC .

SBC OBC BC

( ) ( )

∩ =

  ⊂ ⊥

OM OBC OM BC

( ),

Ta có

  ⊂ ⊥

SM SBC SM BC



⇒

Góc giữa hai mặt phẳng

(SBC)

và

(OBC)

bằng ( SM OM , ) = SMO



= 60 .

⁰

SO a a

Vì ∆ SMO vuông tại O nên



2 :sin 60

⁰

6

SM = SMO = = và

2 3

sin

a a a 6

⁰

6 1 6.cos .cos60 .OM SM= SMO= = =

.

3 3 2 6

2

2

Ta lại có ∆ OBM vuông tại

M

nên

2

2

2 6 3BM OB OM    = − =   −  =

.

2 6 3BC= BM = a

.

Suy ra

2 ^{2 3}3S= SM BC= =

Vậy diện tích ∆ SBC là

¹ . ¹. ^{6 2 3}.

²

².2 2 3 3 3