KÍ HIỆU CÁC ĐỈNH HÌNH HỘP GẤP ĐƯỢC NHƯ HÌNH B). A) ĐƯỜNG THẲNG BF V...

2. Kí hiệu các đỉnh hình hộp gấp được như hình b).

a) Đường thẳng BF vuơng gĩc với mặt phẳng nào?

b) Hai mặt phẳng  ^AEHD  ^và  ^CGHD  vuơng gĩc với nhau, vì sao?

 Hướng dẫn: Ta lần lượt:

 Với câu 2), sử dụng các định nghĩa về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian.

 Giải

a) Ta cĩ:

ABFE và BCGF là các hình chữ nhật.

Suy ra, BF  AB và BF  BC .

Lại cĩ:

AB và BC đều thuộc  ^ABCD  và cắt nhau tại B.

Do đĩ:

 

BF  ABCD .

Tương tự ^{BF }  ^EFGH  ^.

Vậy, BF vuơng gĩc với hai mặt phẳng  ^ABCD  ^và  ^EFGH  ^.

b) Ta cĩ:

 ^AEHD   ^{ CGHD}  ^.

Lại cĩ, AD cùng vuơng gĩc với hai đường thẳng DC và ^{DH }  ^CGHD  ^{và AD }  ^CGHD  ^.

AD  CGHD .

Mà ^{AD }  ^AEHD  ^.

Vậy, ta được  ^AEHD   ^{ CGHD}  ^.

VÍ DỤ 2: Cho hình lập phương ABCD A B C D .

_{1 1 1 1}

.

a) Khi nối A

₁

với C và A với C

₁

thì hai đường thẳng AC

₁

và AC

₁

cĩ cắt nhau hay khơng? Và nếu

chúng cắt nhau thì cĩ thể vuơng gĩc với nhau được khơng? Vì sao?

b) Đường thẳng AC song song với những mặt phẳng nào?

c) Đường thẳng AC vuơng gĩc với những mặt phẳng nào?

 Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa về các mối quan hệ song song và vuơng gĩc.

a) Ta cĩ:

AA BB CC AA CC .



^//



^//

 

^//1 1 1 1 1

 AA C C

_{1 1}

là hình bình hành

 A C

₁

và AC

₁

cắt nhau tại trung điểm của mỗi đưởng.

Giả sử A C

₁

, AC

₁

vuơng gĩc với nhau, khi đĩ:

AA C C

1 1

là hình thoi  AA

₁

 A C

_{1 1}

  a a 2 , mâu thuẫn.

Vậy, A C

₁

và AC

₁

khơng cĩ thể vuơng gĩc với nhau.

   

/ / / /

AC A C A B C D AC A B C D .

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

AC A C A C B AC A C B .

1 1 1 1 1 1

AC A C A C D AC A C D .

Vậy, tồn tại 3 mặt phẳng  A B C D

1 1 1 1

 ,  A C B

1 1

 ,  A C D

1 1

 song song với AC.

c) Ta cĩ:

 

  

AC BB vì BB ABCD

  

1 1

AC BDD B

 

AC BD vì ABCD là hình vuông .



Vậy, cĩ đúng mặt phẳng  BDD B

1 1

 vuơng gĩc với AC.

VÍ DỤ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D .

_{1 1 1 1}

.

a) Hãy chỉ ra các đường thẳng trong hình hộp vuơng gĩc với mặt phẳng  A B C D

1 1 1 1

 .

b) Hãy chỉ ra các mặt phẳng trong hình hộp vuơng gĩc với mặt phẳng  BB C C

1 1

 .

c) Tứ giác B C DA là hình gì? Vì sao?

_{1 1}

 Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa hình lập phương.

 

,

AA A B vì AA B B là hình chữ nhật

  

AA A D vì AA D D là hình chữ nhật

 AA

₁

 A B C D

_{1 1 1 1}

.

Chứng minh tương tự, ta cũng cĩ:

BB A B C D CC

1

^  A B C D

1 1 1 1

 DD

1

^  A B C D

1 1 1 1



1



1 1 1 1

Vậy tồn tại 4 đường thẳng AA BB CC DD

₁

,

₁

,

₁

,

₁

vuơng gĩc với mặt phẳng  A B C D

1 1 1 1



b) Ta cĩ :

   

A B BB C C

1 1 1 1

A B C D BB C C

 

     

A B A B C D

 .

A B BA BB C C

A B A B BA

A B CD BB C C

A B A B CD

AB BB C C

ABCD BB C C



^{1 1}

   

1 1



AB ABCD

ABC D BB C C



^{1 1}

 

1 1

 

1 1



AB ABC D

CD BB C C

CDD C BB C C

CD CDD C

Vậy, tồn tại 6 mặt phẳng  A B C D

1 1 1 1

 ,  A B BA

1 1

 ,  A B CD

1 1

 ,  ^ABCD  ^,  ABC D

1 1

 ,  CDD C

1 1

 vuơng

gĩc với mặt phẳng  BB C C

1 1

 .

c) Vì ADD A

_{1 1}

là hình chữ nhật nên:

/ / / / //

AD A D B C    AD B C   B C DA là hình bình hành.

1 1 1 1 1 1 1 1

Mặt khác, ta cĩ:

  ^

B C  CDD C  B C  C D  B C D   .

1 1 1 1 1 1 1 1 1

90

Vậy, hình bình hành B C DA cĩ một gĩc vuơng nên nĩ là hình chữ nhật.

_{1 1}

VÍ DỤ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D .

_{1 1 1 1}

, biết AB a  , BC b  , AA

₁

 c . Tìm mối liên hệ giữa

các đại lượng a, b, c để tứ giác AAC C

_{1 1}

là hình vuơng.

 Hướng dẫn: Trước tiên, cần đi chứng tỏ AAC C

_{1 1}

là hình chữ nhật. Từ đĩ, thiết lập điều kiện

AA

1

 AC , trong đĩ AC được tính bằng việc sử dụng hai lần định lí Py-ta-go.

Ta cĩ:

/ / / / / /

AA BB CC    AA CC  .

 là hình bình hành.

AA C C

1 1

Ta lại cĩ:

AA  A B C D  AA  A C  AAC   .

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

90

Khi đĩ, hình bình hành AAC C

_{1 1}

cĩ một gĩc vuơng nên nĩ là hình chữ nhật.

Để AAC C

_{1 1}

là hình vuơng điều kiện là:

2 2 2 2 2 2 2

AA  AC  AA  AC  AB  BC  c  a  b .

Vậy, để AAC C

_{1 1}

là hình vuơng điều kiện là c

²

 a

²

 b

²

.

Dạng tốn 2: DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP

VÍ DỤ 1: a) Tính các kích thước của một hình hộp chữ nhật, biết rằng chúng tỉ lệ với 3, 4, 5 và thể tích

của hình hộp này là 480m

³

.

b) Diện tích tồn phần của một hình lập phương là 486m

²

. Thể tích của nĩ là bao nhiêu?

 Với câu a), sử dụng tính chất tỉ lệ thức và cơng thức tính thể tích của hình hộp.

 Với câu b), trước tiên sử dụng cơng thức tính diện tích tồn phần của hình lập phương để tính độ

dài cạnh của nĩ.

a) Gọi a, b, c là các kích thước của hình chữ nhật (đơn vị: cm).

Theo đề bài, ta cĩ:

a     b c k k  a b c     k .