13. CHO HÌNH CHĨP S.ABCD CĨ ĐÁY ABCD LÀ HÌNH BÌNH HÀNH. M LÀ MỘT...

Bài 3.13. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm di động trên đoạn AB. Một mặt phẳng ( )α đi qua M và song song với SA và BC; ( )α cắt SB, SC và CD tại N, P, Q a) Tứ giác MNPQ là hình gì? b) Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng I nằm trên một đường thẳng cố định. HD Giải (SAB) và (SCD) cố định nên Sx cố định. α( ) / /a) Vì M∈(SAB) và ABDĩ đĩ I thuộc đường thẳng Sx cố định. ( )⊂SA SAB nên ( ) (α ∩ )= và MN // AB. SAB MNSTương tự ( ) (α ∩ SBC)=NP và NP // BC; ( ) (α ∩ )= ; ( ) (α ∩ ABCD)=MQ và MQ ISCD PQ// BC. Từ đĩ suy ra, tứ giác ABCD là hình thang. ( ) ( ) ∈ ∩x N PS SAB SCD ⊂ ⊂( ), ( )b) Ta cĩ AB SAB CD SCDA D/ /MAB CDQ⇒ ∩ = và Sx // AB // CD SAB SCD SxB C ∈ ⊂⇒  ∈ ⊂MN∩PQ=I I MN SABI PQ SCD⇒ ∈ ∩ ⇒ ∈I (SAB) (SCD) I Sx

§4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

A. KIẾN THỨC CẤN NẮM I Định nghĩa: Hai mặt phẳng ( )α và ( )β được gọi là song song với nhau nếu chúng khơng cĩ điểm chung. Kí hiệu: ( ) / /( )α β ^{hoặc( ) / /( )}β α ^{. Như vậy}

α

( ) / /( )α β ⇔( ) ( )α ∩ β = Ο

β

II II. Tính chất. 1. Định lí 1. Nếu mặt phẳng ( )α chứa hai đường thẳng cắt

b

M

nhau a, b và a, b cùng song với mặt phẳng ( )β thì ( )α song

a

α α⊂ ⊂ a b∩ = ⇒( ) / /( )α βsong với ( )β ; nghĩa là a b M/ /( ), / /( )β βHệ quả: Nếu mặt phẳng ( )α chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b, mặt phẳng ( )β chứa hai đường thẳng cắt nhau a' và b' đồng thời a // a', b // b' thì mặt phẳng ( )α song song với mặt phẳng( )β . 2 Định lí 2. Qua một điểm nằm ngồi một mặt phẳng cho

A

trước cĩ một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. Hệ quả 1. Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng

d

( )α thì trong ( )α cĩ một đường thẳng song song với d và qua d cĩ duy nhất một mặt phẳng ( )β song song với ( )α . Hệ quả 2. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Hệ quả 3. Cho điểm A khơng nằm trên mặt phẳng ( )α ^. Mọi đường thẳng đi qua A và song song với ( )α đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với ( )α . 3 Định lí 3. Cho hai mặt phẳng song. Nếu một mặt phẳng cắt

γ

mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau. Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau. 4 Định lí 4(Định lí Ta-lét). Ba mặt phẳng đơi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng

A

A'

tỉ lệ. AB AC BC

P

A B' '= A C' '= B C' '

B

B'

Q

C

C'

R

5 Định lí Ta-lét đảo. Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau lần lượt lấy các điểm A, B, C và A’, B’, C’ sao cho AB = BC =CAA'B' B'C' C'A'Khi đĩ AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng. III. Hình lăng trụ và hình chĩp cụt 1. Hình lăng trụ Hình lăng trụ là một hình đa diện cĩ hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song (gọi là hai đáy) và tất cả các cạnh khơng thuộc hai đáy đều song song với nhau (gọi là cạnh bên) - Hai đáy của hình lăng trụ là các đa giác bằng nhau - Các mặt khác hai đáy gọi là mặt bên: Mỗi mặt bên là một hình bình hành - Các mặt tạo bởi hai cạnh bên khơng liên tiếp gọi là mặt chéo: Mỗi mặt chéo là một hình bình hành - Đường chéo của các mặt chéo là đường chéo của hình lăng trụ - Tùy theo đáy, ta gọi hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng trụ lục giác, . . .

Lăng trụ tam giác

Lăng trụ tứ giác

Lăng trụ ngũ giác

2. Hình hộp Hình hộp là hình lăng trụ cĩ đáy là hình bình hành. - 6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình bình hành - Các đường chéo của hình bình hành đồng qui tại một điểm là trung điểm của mỗi đường chéo (điểm đĩ gọi là tâm của hình hộp) - Hình hộp cĩ tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật - Hình hộp cĩ tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuơng gọi là hình lập phương

D'

A'

B'

O

D

C

B

3. Hình chĩp cụt Cho hình chĩp S.A

₁

A

₂

...A

_n

. Một mặt phẳng lần lượt tại A A

₁

^'

, ,...,

₂

^'

A

_n

^'

. Hình toạ bởi thiết khơng qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy diện A A

_{1 2}

^'

^'

...A

_n

^'

và đáy A A

_{1 2}

...A

_n

của hình của hình chĩp cắt các cạnh SA

₁

, SA

₂

, . . ., SA

_n

chĩp cùng các từ giác

S

A A A A A A A A

_{1 2 2 1}

^'

^'

,

_{2 3 3 2}

^'

^'

,...,A A A A

^'

_{1 1}

^'

được gọi là

n

n

hình chĩp cụt, kí hiệu A A

_{1 2}

^'

^'

... .A A A A

_n

^'

_{1 2}

..

_n

A'

5

Hình chĩp cụt cĩ:

A'

4

A'

1

- Hai đáy là hai da giác cĩ cạnh tương ứng song dong và tỉ số các cạnh tương ứng

A'

3

A'

2

bằng nhau

A

5

- Các mặt bên là những hình thang

A

1

A

4

- Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng qui tại một điểm.

A

3

A

2

B. BÀI TẬP

V

ấn đề 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp: 1. Vận dụng định lí 1: Nếu mặt phẳng ( )α chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song với mặt phẳng ( )β thì ( )α song song với ( )β :2. Ta chứng minh hai mặt phẳng ( )α và ( )β cùng song song với mặt phẳng thứ ba ( )γ