7.
Vậy đường tròn giao tuyến có tâm K(3; 1; −1) và bán kính r = p
R 2 − d 2 (I, (P )) = √
Bài tập 6.70. (A-09) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : 2x − 2y − z − 4 = 0 và (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x −
4y − 6z − 11 = 0. Chứng minh (P ) cắt (S) theo một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
Lời giải. Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.
Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến − → n = (2; −2; −1).
√ 4 + 4 + 1 = 3 < R ⇒ (P ) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn (đpcm).
Ta có d (I, (P )) = |2 − 4 − 3 − 4|
Gọi K là tâm đường tròn giao tuyến ta có K là hình chiếu của I trên (P ).
Đường thẳng IK qua I(1; 2; 3) và nhận − → n = (2; −2; −1) làm vectơ chỉ phương.
x = 1 + 2t
.
Do đó IK có phương trình
y = 2 − 2t
z = 3 − t
x = 3
y = 0
⇒ K(3; 0; 2).
⇔
Tọa độ K thảo mãn hệ
z = 2
2x − 2y − z − 4 = 0
t = 1
Vậy đường tròn giao tuyến có tâm K(3; 0; 2) và bán kính r = p
R 2 − d 2 (I, (P )) = 4.
Bài tập 6.71. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (3; 3; 0) , B (3; 0; 3) , C (0; 3; 3) , D (3; 3; 3). Viết
phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải. Gọi mặt cầu cần tìm là (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 a 2 + b 2 + c 2 > d
a = 3
2
18 − 6a − 6b + d = 0
18 − 6a − 6c + d = 0
b = 3
(thỏa mãn).
Vì (S) qua A, B, C, D nên ta có hệ
18 − 6b − 6c + d = 0
c = 3
27 − 6a − 6b − 6c + d = 0
d = 0 2
Do đó mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D có phương trình (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 3x − 3y − 3z = 0.
3
Mặt cầu S có tâm I
2 ; 3
= (−9; −9; −9).
Ta có − − →
AB = (0; −3; 3), −→
AC = (−3; 0; 3) ⇒ h − − →
AB, −→
AC i
Mặt phẳng (ABC) qua A(3; 3; 0) và nhận h − − →
= (−9; −9; −9) làm vectơ pháp tuyến.
Do đó (ABC) có phương trình −9(x − 3) − 9(y − 3) − 9z = 0 ⇔ x + y + z − 6 = 0.
Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ta có K là hình chiếu của I trên (ABC ).
2 + t
Đường thẳng IK có phương trình
y = 3
z = 3
x = 2
y = 2
⇒ K(2; 2; 2).
Tọa độ K thỏa mãn hệ
x + y + z − 6 = 0
Vậy đường tròn ngoại tiếp ∆ABC có tâm K(2; 2; 2).
Bài tập 6.72. (D-2012) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x + y − 2z + 10 = 0 và điểm
I (2; 1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P ) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.
√ 4 + 1 + 4 = 3 ⇒ mặt cầu cần tìm có bán kính R = √
Lời giải. Ta có d(I, (P )) = |4 + 1 − 6 + 10|
16 + 9 = 5.
Mặt cầu cần tìm có tâm I (2; 1; 3) và bán kính R = 5 nên có phương trình (x−2) 2 +(y−1) 2 +(z−3) 2 = 25.
§5. Góc Và Khoảng Cách
Bài tập 6.73. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD. Tính góc và khoảng cách giữa hai cạnh AB
và CD biết A (3; −1; 0) , B (0; −7; 3) , C (−2; 1; −1) , D (3; 2; 6).
AB = (−3; −6; 3), −−→
CD = (5; 1; 7), −→
AC = (−5; 2; −1) ⇒ h − − →
AB, −−→
CD i
= (−45; 36; 27).
Lời giải. Ta có − − →
CD = −15 − 6 + 21 = 0 ⇒ AB⊥CD ⇒ góc giữa AB và CD là 90 0 .
Dễ thấy − − →
AB. −−→
h − − →
CD i −→
AC
√ 2025 + 1296 + 729 = 3 √
= |225 + 72 − 27|
Bạn đang xem 7. - DAP AN CHUYEN DE TOÁN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
