| D | ≥ | A | . | B |2N .CHỨNG MINH. 1. VỚI MỖI PHẦN TỬ A ∈ A, XÉT...

2. | D | ≥ | A | . | B |

2n .

Chứng minh. 1. Với mỗi phần tử a ∈ A, xét tập hợp

a − B = { a − b | b ∈ B } .

Khi đó | a − B | = | B | và

a − B ⊂ {− n + 1, − n + 2, . . . , − 1, 0, 1, 2, . . . , n − 2, n − 1 } = M.

Ta thấy | M | = 2n − 1. Khi đó ta có | A | . | B | tập hợp dạng a − B, tương ứng sẽ có | A | . | B | số nguyên,

tất cả các số nguyên này đều nằm trong M. Do đó theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại một phần tử

x ∈ M, thuộc vào ít nhất

| A | . | B |

+ 1 > | A | . | B |

m =

2n − 1

2n − 1 > | A | . | B |

2n

tập hợp. Giả sử m tập hợp đó chứa x là

a

− B, a

− B, . . . , a

− B

với { a

, a

, . . . , a

} ⊂ A.