CHO A, B, C LÀ BA SỐ THỰC DƯƠNG T/M A + B + C = 2 TÌM MAX PCABCBIẾT P=...
Câu 5:
Cho a, b, c là ba số thực dương t/m a + b + c = 2 Tìm Max P
ca
bc
biết
P=
ab
√
bc
+2
a
+
√
ac+
2b
√
ab+
2
c
+
* Vì a + b+ c = 2
⇒
2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c
2
+ ab = (ca+ c
2
)+( bc + ab)
= c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b)
⇒
2c+ab = (c+a)(c+b)
vì a ; b ; c > 0 nên
1
a+c
>
0
và
1
b
+c
>
0
áp dụng cosi ta có
1
a+
c
+
¿
1
b+c
2.
√
(a+c
)(b+
1
c)
dấu (=)
1
b+c
⇒
a + c = b + c
⇒
a = b
a
+c
=¿
1
1
hay
1
2
(
1
c
+a
+
1
c+
b
)
√
(c
+
a)(c
+
b)
≤
ab
⇒
ab
c
+b
)
(1) dấu bằng a = b
2
(
ab
c
+
a
+
ab
√(c+
a)(c+b)
≤
√
2
c
+ab
=
Tương tự:
bc
2
(
cb
a+b
+
bc
a+
c
)
(2) dấu bằng b = c
√
bc+2
a
≤
ac
b+a
)
(3) dấu bằng a = c
2
(
ca
c
+b
+
ca
√
2
b+ca
≤
1
cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có
⇒
: P=
ab
b+a
+
cb
c+
a
+
2
(
ab
c+
a
+
ab
c
+b
+
cb
√
ca+2
b
√
bc+2
a
+
ac
b+a
+
ac
c+
b
)
cb
a+b
+
ac
a+b
⇒
P
1
2
(
ab
c
+a
)+(
ab
b+
c
+
ac
c+
b
)+¿
c+
a
+
cb
¿
=
1
2
[
(a
c+
+c
a
).
b
+
a
.(b+
b+
c
c)
+
c
.
a+
(b+
b
a)
]
¿
1
2
(a+b
+
c
)=
1
2
.2=1
⇒
P=
ab
3
√
ca+2
b
≤ 1 dấu bằng a = b = c =
2
Vậy min P = 1 khi a = b = c =
2