Câu 48. Cho phương trình
16
|x+2|+m + p
4
|x+1|+2m+ 1 − p
2
|x|+3m+ 2 = 0.
Có bao nhiêu số nguyên m ∈ [−2020; 2020] để phương trình đã cho vô nghiệm?
A. 1010. B. 1011. C. 2021. D. 2022.
Lời giải
√
Giả sử f (x) =
16
|x+2|+m+ p
2
|x|+3m+ 2
Xét m ≥ 0, ta có
f (x) > 4
|x+2|·4
m+2
|x+1|·4
m− p
2
|x|+3m+ 2 = 4
m(4
|x+2|+2
|x+1|− p
2
|x|−m+ 2
1−4m)
Ta chứng minh 4
m(4
|x+2|+ 2
|x+1|− p
2
|x|−m+ 2
1−4m) > 0, bất phương trình tương
đương
4
|x+2|+ 2
|x+1|− p
2
|x|−m+ 2
1−4m > 0
Vì vế trái đồng biến trên theo m nên ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn
(khi m = 0)
2
|x|+ 2 > 0 ⇔ 4
|x+2|+ 2
|x+1|2> 2
|x|+ 2
> 2
|x|.
Mà 2|x + 2| + |x + 1| − |x| ≥ −1 ⇒ 2
2|x+2|+|x+1|−|x|≥ 1
2 ⇒ 3 · 2
2|x+2|+|x+1|Dễ thấy 2
2|x+2|+|x+1| ≥ 2, cộng vế theo vế suy ra 4 · 2
2|x+2|+|x+1|> 2
|x|+ 1, ta có
điều phải chứng minh.
Như vậy nếu m ≥ 0 thì f (x) > 0 nên phương trình vô nghiệm
Xét m ≤ −1, ta có 1 ≤ 16 · 4
2m nên
f (−2) = 4
m+ √
4
2m+1+ 1 − √
2
2+3m+ 2 ≤ 4
m+ 4
m√
20 − √
2
2+3m+ 2
= 4
m(1 + √
2
2−m+ 2
1−4m)
| {z }
nghịch biến theomMà m = −1 thì 1 + √
2
2−m+ 2
1−4m < 0 nên f (−2) < 0, hàm f(x) liên tục
trên R và lim
x→+∞f(x) = +∞ nên f (x) có nghiệm trên (−2; +∞).
Kết luận: để f(x) vô nghiệm thì m ≥ 0 ⇒ có 2021 giá trị m thỏa.
Chọn C .
Bạn đang xem câu 48. - Hướng dẫn giải đề thi KSCL môn Toán lớp 12 năm 2020 trường THPT Bình Phú – Bình Dương
