GỌI HK LÀ ÑƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA , . X Y QUA H KẺ ÑƯỜNG THẲNG Y’ SO...

Bài 5:

Gọi HK là ñường vuông góc chung của , . x y Qua H kẻ ñường thẳng y’ song song

với y.

Qua , C D kẻ CP, DQ song song với HK, P,Q nằm trên y’.

Ta có:

1 1

( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( )

, , , , .

S = S + S + S + S = CD d A y + d B y + AB d C x + d D x

tpABCD

ACD

BCD

CAB

DAB

2 2

Vậy diện tích toàn phần của tứ diện ABCD nhỏ nhất khi ^{d C x} ( ^, ) ^{+ d D x} ( ^, ) ^{ñạt giá}

trị nhỏ nhất.

Gọi I,J lần lượt là chân ñường vuông góc hạ từ C,D xuống x.

Ta phải tìm vị trí của C,D ñể CI + DJ ñạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có CI + DJ = CH

²

− HI

²

+ DH

²

− HJ

²

Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN. Hà N ội, tháng 8/2008

= + − + + −

2

2

2

2

2

2

HK CK HI HK KD HJ

HK PH HI HK HQ HJ

= + + + = + + +

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

sin sin .

HK PI HK QJ HK PH α HK QH α

Với α là góc giữa x và y và PQ = CD= l.

Lại có:

( )

²

α α α

+ + + ≥ + +

2

2

2

2

2

2

2

2

sin sin 4 sin

HK PH HK QH HK PH QH

α α

≥ + = +

4 sin . 4 sin .

HK PQ HK l

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi H là trung ñiểm của PQ. Từ ñó suy ra vị trí C, D.