(6.0 ĐIỂM). CHO TAM GIÁCABC CÓ BA GÓC NHỌN,AB < BC;NGOẠI TIẾP...

Bài 4 (6.0 điểm). Cho tam giácABC có ba góc nhọn,AB < BC;ngoại tiếp đường tròntâmI:Hình chiếu vuông góc của điểmI trên các cạnhAB; AC theo thứ tự làM; N và hìnhchiếu vuông góc của điểmB trên cạnhAC làQ:GọiD là điểm đối xứng của điểmAquađiểmQ; P là tâm đường tròn nội tiếp tam giácBCD vàRlà giao điểm của hai đường thẳngMN; BQ:Chứng minh rằnga) Các tam giácBMRvàBIP đồng dạng.b) Đường thẳngPRsong song với đường thẳngAC:c) Đường thẳngMN đi qua trung điểm của đoạn thẳngAP:Lời giải. a)DoAM vàAN là các tiếp tuyến của đường tròn.I /nênAM DAN;suy ra tamgiácAMN cân tạiA:Từ đó∠BMRD180

^ı

∠AMN D180

^ı

12.180

^ı

∠BAC /D90

^ı

C12∠BAC :Mặt khác, ta cũng có∠BI C D180

^ı

∠IBC ∠I CB D180

^ı

12.∠ABC C∠BCA/D90

^ı

C 1Do đó∠BMRD∠BI C: .1/DoQA DQDvàBQ ?AD nên tam giácABDcân tạiB:Từ đó∠ABRD∠DBRD90

^ı

∠BAC:Suy ra∠BRM D180

^ı

∠BMR ∠MBR.90

^ı

∠BAC /D180

^ı

90

^ı

C 12∠BACD 1Mặt khác, ta cũng có (chú ý rằngC; P; I thẳng hàng)∠BP I D∠PBC C∠P CB D 12∠DBC C∠DCB D 12∠ADB D 1∠BRM D∠BP I: .2/Từ.1/và.2/;ta có4BMRv4BIP (g-g).

A

Q

N

R

D

M

I

P

B

C

b)Do4BMR v4BIP (theo câua)) nên ta cóBMBR D BIBP .3/và∠MBRD∠IBP: .4/Từ.4/;ta suy ra∠MBRC∠RBI D∠IBP C∠RBI;hay∠MBI D∠RBP: .5/Từ.3/ và.5/;ta suy ra 4BMI v 4BRP (c-g-c). Do đó∠BRP D ∠BMI D 90

^ı

:Suy raRP ?BQ:Mặt khác, ta cũng cóBQ?AC nênPRkAC:6 Lời giải đề thi học sinh giỏi thành phố lớp 9 thành phố Hà Nội 2020c)Ta có∠RND D180

^ı

∠ANM D180

^ı

12.180

^ı

∠BAC /D90

^ı

C 12∠BAC:Lại có∠PDN D∠ADBC∠BDP D∠ADBC12∠BDCD∠ADBC 12.180

^ı

∠ADB/D90

^ı

C 12∠ADBD90

^ı

C 1∠RND D∠PDN:Mặt khác, theo chứng minh câub), ta cóPRkDN nên tứ giácDNRP là hình thang. Kết hợpvới kết quả trên, ta suy ra tứ giácDNRP là hình thang cân. Từ đó∠NPRD∠DRP D∠RDN: .6/Tam giácRAD cóRQvừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên cân tạiR:Suy ra∠RDN D∠RAN: .7/Từ.6/và.7/;ta có∠RPN D∠RAN:Lại có∠NRP D∠RNA(so le trong). Do đó∠RNP D180

^ı

∠NRP ∠RPN D180

^ı

∠RNA ∠RAN D∠NRA:Mà hai gócRNP vàNRAở vị trí so le trong nênRAkPN:Tứ giácARPN cóPRkAN vàARkNP nên là hình bình hành. Suy ra hai đường chéoRN vàAP cắt nhau tại trung điểm củamỗi đường. VậyMN đi qua trung điểm củaAP: