(1.0 ĐIỂM). CÓ15HỘP RỖNG. MỖI BƯỚC, NGƯỜI TA CHỌN MỘT SỐ HỘP RỒI...

Bài 5 (1.0 điểm). Có15hộp rỗng. Mỗi bước, người ta chọn một số hộp rồi bỏ vào mỗi hộpmột số viên bi sao cho số viên bi bỏ vào mỗi hộp là một lũy thừa của2và trong mỗi bướckhông có hai hộp nào có số bi được bỏ vào giống nhau. Tìm số nguyên dươngknhỏ nhất saocho sau khi thực hiệnkbước, tất cả các hộp đều có số bi giống nhau.Lời giải. Giả sử saukbước, mỗi hộp đều cónviên bi. Khi đó, số bi trong tất cả các hộp là15n:Gọi2

^m

ⁱ

là số viên bi nhiều nhất được bỏ vào một hộp nào đó ở bước thứi .1 i k/:Gọimlà số lớn nhất trong các sốm

1

; m

2

; : : : ; m

k

:Khi đó, ở mỗi bước, số viên bi được bỏ vào tất cảcác hộp không vượt quá2

^m

C2

^{m 1}

C C2

¹

C2

⁰

D2

^m

^C

¹

1:Suy ra, saukbước, số viên bitrong tất cả các hộp không vượt quák.2

^m

^C

¹

1/:Do đó15n6k.2

^m

^C

¹

1/ < k2

^m

^C

¹

:Mặt khác, dễ thấyn 2

^m

nên152

^m

15n < k 2

^m

^C

¹

; suy rak > 7:5:Vìk là số nguyêndương nênk8:Do đó, cần không ít hơn8bước để số bi trong tất cả các hộp đều bằng nhau.Mặt khác, ta có thể thực hiện8bước bỏ bi vào các hộp như sau: Bước 1:1; 2 ; 2

²

; 2

³

; 2

⁴

; 2

⁵

; 2

⁶

; 2

⁷

; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0: Bước 2:1; 2 ; 2

²

; 2

³

; 2

⁴

; 2

⁵

; 2

⁶

; 0; 2

⁷

; 0; 0; 0; 0; 0; 0:Khi đó, số bi trong mỗi hộplần lượt là2; 2

²

; 2

³

; 2

⁴

; 2

⁵

; 2

⁶

; 2

⁷

; 2

⁷

; 2

⁷

; 0; 0; 0; 0; 0; 0: Bước 3:2 ; 2

²

; 2

³

; 2

⁴

; 2

⁵

; 2

⁶

; 0; 0; 0; 2

⁷

; 0; 0; 0; 0; 0:Khi đó, số bi trong mỗi hộplần lượt là2

²

; 2

³

; 2

⁴

; 2

⁵

; 2

⁶

; 2

⁷

; 2

⁷

; 2

⁷

; 2

⁷

; 2

⁷

; 0; 0; 0; 0; 0: : : : Bước 8:2

⁶

; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2

⁷

:Khi đó, số bi trong mỗi hộp lầnlượt là2

⁷

; 2

⁷

; 2

⁷

; 2

⁷

; 2

⁷

; 2

⁷

; 2

⁷

; 2

⁷

; 2

⁷

; 2

⁷

; 2

⁷

; 2

⁷

; 2

⁷

; 2

⁷

; 2

⁷

:Vậyk

min

D8: