BIẾT AN CẮT OP TẠI K, PM CẮT ON TẠI I; PN VÀ OM KÉO DÀI CẮT NHAU TẠI J
4.
Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J,
K thẳng hàng.
Lời giải:
(HS tự làm).
Ta có é ABM nội tiếp chắn cung AM; AOM là góc ở tâm
AOM
(1) OP là tia phân giác é AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau )
chắn cung AM => ABM =
2
=> AOP =
(2)
Từ (1) và (2) => é ABM = é AOP (3)
X
P
N
J
1
I
M
K
2
1
1
(
A
O
B
Mà góc ABM và góc AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. (4)
Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : góc PAO=90
0
(vì PA là tiếp tuyến ); góc NOB = 90
0
(gt
NO⊥AB).
=>
PAO
=
NOB
=
90
0
; OA = OB = R;
AOP
=
OBN
(theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN
(5)
Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau).
Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ⊥ AB => ON ⊥ PJ
Ta cũng có PM ⊥ OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác
POJ. (6)
Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có
PAO
=
AON
=
ONP
=
90
0
=> K là trung
điểm của PO ( t/c đường chéo hình chữ nhật). (6)
AONP là hình chữ nhật => éAPO = é NOP ( so le) (7)
Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có PO là tia phân giác éAPM => éAPO = éMPO (8).
Từ (7) và (8) => IPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đường cao => IK
⊥ PO.
(9)
Từ (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng.