CHO TAM GIÁC ABC VUÔNG Ở A, ĐƯỜNG CAO AH. ĐƯỜNG TRÒN TÂM O ĐƯỜN...

Bài 10 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Đường tròn tâm O đường

kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N ( A M&N). Gọi I, P và Q lần lượt là

trung điểm các đoạn thẳng OH, BH, và CH. Chứng minh:

a)

 AHN ACB

A

b) Tứ giác BMNC nội tiếp.

O

N

c) Điểm I là trực tâm tam giác APQ.

M

I

BÀI GIẢI

/

/

//

//

B

C

P

H

Q

a) Chứng minh

 AHN ACB

:

 90

0

ANH

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Nên Tam giác ANH vuông tại N.

AHC90

0

(do AH là đường cao của

ABC) nên

tam giác AHC vuông ở H. Do đó

 AHN ACB

(cùng phụ

HAC

).

Trang chủ:

https://traloihay.net

| Email hỗ trợ: [email protected] | Hotline:

024 2242 6188

b) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp:

Ta có :

 AMN AHN

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN).

 AHN ACB

(câu a).

Vậy:

 AMN ACB

. Do đó tứ giác BMNC là một tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh I là trực tâm tam giác APQ:

OA = OH và QH = QC (gt) nên QO là đường trung bình của tam giác AHC. Suy ra:

OQ//AC, mà AC

AB nên QO

AB.

Tam giác ABQ có AH

BQ và QO

AB nên O là trực tâm của tam giác. Vậy

BO

AQ. Mặt khác PI là đường trung bình của tam giác BHO nên PI // BO. Kết hợp

với BO

AQ ta được PI

AQ. Tam giác APQ có AH

PQ và PI

AQ nên I là trực

tâm tam giác APQ (đpcm).