A) CHO ĐIỂM M TÙY Ý NẰM BÊN TRONG TAM GIÁC ABC. GỌI S1, S2, S3 LẦN...

Câu 4: a) Cho điểm M tùy ý nằm bên trong tam giác ABC. Gọi S

₁

, S

₂

, S

₃

lần lượt là diện tích của các tam giác MBC, MAC, MAB. Chứng minh rằng S MA S MB S MC

₁

.

₂

.

₃

. 0. Lời giải

A

M

H

2

H

1

H

A'

B

C

Gọi A là giao điểm của đường thẳng MA với BC. Ta có:         MH HA A C A B     . . . .MA MH HA MB MC MB MCMB MC BC BC      MA A C MA A B        Ta có MA. MA. A C. A B. . MA A M BM CMBM CMMA MA BC BCMA BC MA BCd A MC MC d M A C A C, . , .S S MA A C







 

MAC

MA C

. . .Mặt khác

 

 

   

  . S S d A MC MC d M BC BC MA BC







MA C

MBC

 S S MA A B







Tương tự ta có

^MAB

.

^{MA B}

. . S S MA BC

MA B

MBC

Thay vào ta được:   S SMA BM CM

MAC

MAB

. .

MBC

MBC

Suy ra MA S.

_

_MBC

S

_

_MAC

.MB S

_

_MAB

.MC 0, điều phải chứng minh. b) Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol

 

^{P y x: }

²

^{ px q với}



^q0



. Biết rằng

 

^{P cắt} trục Ox tại hai điểm phân biệt ,A B và cắt trục Oy tại C. Chứng minh rằng khi p và q thay đổi, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn đi qua một điểm cố định.

2

4p p q . Xét phương trình x

²

 px q 0có   p

²

4q0 và có hai nghiệm là x   

1,2

2Khi đó

 

^{P cắt trục Ox}tại hai điểm phân biệt A



x

1

;0



, B



x

2

;0



và

 

^{P cắt Oy tại điểm}

 

^0;C q . Gọi ^{I x y}

 

^, là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.         

2

2

p p q p p q4 4     x x 2 2    IA IB. Ta có hệ phương trình   IA IC         

2

2

2

x y x y q  x p           2 . Khi đó bán kính: 1 1y q

 

²

1

2

2 1R IC  p  q . Suy ra phương trình đường tròn là:

2

2

1 0x y px q y q  ^{x p.  }



^{1 y q x}



^

²

^y

²

^{ y 0.} Do đường tròn đi qua điểm cố định với mọi ,p q nên phương trình trên phải vô số nghiệm



^{p q;}



   0 0  . Vậy điểm cố định là ^M

 

^{0;1 .} y ysuy ra     0u u u